Grenzwert des Integrals

xindon

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe (LaTeX geht leider noch nicht):

f_t(x) = 2x / (t² + x²), für t > 0

Jetzt habe ich zwei Kurven mit t1 < t2 und eine senkrechte Gerade g:x=z (z>0).
Die eingegrenzte Fläche A(z) im 1. Feld soll bestimmt werden.

Das ist soweit noch kein Problem (hoffe ich):
Stammfunktion F_t(x) = ln(t² + x²)

A(z) = [ F_t1(x) - F_t2(x) ]₀^z
= [ ln(t₁² + x²) - ln(t₂² + x²) ]₀^z
= [ ln( (t₁² + x²)/(t₂² + x²) ) ]₀^z

A(z) = ln((t₁² + z²)/(t₂² + z²)) - ln(t₁²/t₂²)

Das müsste jetzt die allgemeine Formel für den Flächeninhalt A(z) sein. Die Logarithmen könnte man noch zusammenziehen, aber ich weiß nicht, ob das was bringt.

Problem: Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z→+∞?

Wie muss ich die Gleichungen weiter umformen, dass ich den Grenzwert bestimmen kann? Oder habe ich etwas übersehen / falsch gemacht?

Vielen Dank für jede Hilfe!

Grüße,
Tim

GNU-Fan

Hallo,

t1 und t2 sind endlich, oder?

Also, wenn dann A(z) im letzten Schritt richtig ist, dann geht bei A(z) der erste Summand gegen Null, der zweite ist ja konstant.

Das ist so, weil im ersten Summanden im Bruch nur die z im Nenner und Zähler relevant werden. Beide haben die gleiche Potenz (2), also geht der Bruch gegen 1 und ln(1) ist Null. (Kannst auch im Bruch z² rauskürzen, wenn du es deutlicher willst)

xindon

Ja, genau so hab ichs mir auch überlegt.

Hmpf.. aus irgendeinem Grund habe ich gedacht, dass für A* eine konkrete Zahl rauskommen muss, aber das kann ja gar nicht sein, da t₁ und t₂ variabel sind.

Nagut, dann hat sich das ja erledigt

Trotzdem danke!