vollständige induktion
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Hallo leute!
wie kann ich mit vollständiger induktion beweisen, dass gilt:
a^n - b^n = (a - b) (a^(n-1) + a^(n-2) * b + ... + a * b^(n-2) + b^(n-1))danke!
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warum beweist du es nicht durch ausmultiplizieren und zusammenfassen?
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1. zu zeigst das die behauptung für eine zahl gilt (meistens für 1)
2. wenn diese behauptung für 1 gilt, dann sollte sie auch für n+1 gelten
3. du setzt in die gleichung n+1 ein
4. du nimmst die ausgangsgleichung und addierst n+1
5. du zeigtst das die ausgangsgleichung + n+1 das selbe ist wie die gleichung, in die du n+1 eingestetzt hast
6. fertig!ist doch garnicht so schwer
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@mathelehrer: bist du echt ein mathelehrer? du hast das nämlich sogut erklärt, du kannst eigentlich kein mathelehrer sein
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Original erstellt von kwoTx:
warum beweist du es nicht durch ausmultiplizieren und zusammenfassen?weil die aufgabenstellung so lautet.
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Ich hab die lösung leute.
für alle die es interessiert:und zwar benutzen wir den hilssatz, dass gilt: (S bedeutet Summe)
"S von k=0 bis n"(q^k) = (1 - q^(n+1)) / (1 - q)
jetzt zur ausgangsleichung:
a^n - b^n = (a - b) * (a^(n-1) + a^(n-2) * b + ... + a * b^(n-2) + b^(n-1))
mit (a-b) dividieren und dann auf der linken seite im zähler a^n und im nenner a ausklammern
und auf der rechten seite a^(n-1) ausklammern. dann bekommt man:a^(n-1) * (1 - (b/a)^n) / (1 - b/a) = a^(n-1) * ( "S von k = 0 bis n-1"((b/a)^k) )
und damit ist es eigentlich schon bewiesen.
man könnte, um es zu vervollständigen, den induktionsschluss folgendermaßen durchführen:
man addiert auf beiden seiten (a * b/a)^(n-1) und multipliziert beide seiten mit a.nach ein bisschen umformen kommt man auf die annahme:
a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) * (a^n + a^(n-1) * b + ... + a * b^(n-1) + b^(n))
q.e.d