Lineare Abbildungen von Vektoren in Matrixform darstellen

sevobal

Hallo,
ich habe einige Aufgaben, die ich gerne lösen würde, weiß nur leider nicht genau wie ich das denn nun anstelle. Ich brauche quasi ein Leitbeispiel, nach welchem ich alle anderen Aufgaben dieser Art lösen kann. Hier nun zunächst ein Beispiel der Problemstellung:

1. Ist die folgende Abbildung linear oder nicht? (Wie rechne ich das aus?)
R^3 -> R^2; (x, y, z)^t -> (xy, x + y)^t

2. Wenn ich 1. gelöst habe: wie stelle ich die lineare Abbildung nun als Matrix dar?

3. Wie berechne ich dann das Bild dieser Abbildung?

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mit das anhand dieses Beispiels einmal zeigen könnt, denn dann kann ich die anderen Abbildungen auch lösen.

Vielen Dank schonmal für eure Mühen mir alles zu erklären.

Gruß
SeVo

ist nicht linear. Weil:

Lineratität verlangt von einer Abbildung f unter anderem, daß f(u+v)=f(u)+f(v) für alle
Vektoren u,v ist (Additivität).

Wenn du in deiner Abbildung u=(100), v=(010), u+v=(110) einsetzt, siehst du, daß
f(u+v) ungleich f(u)+f(v) ist.

oops ... soll im 2. Satz natürlich "Linearität" heißen

zu 2. Falls die Abbildung linear *wäre*, dann gilt für die Darstellungs-Matrix
einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen der handliche Spruch:

"Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren"

(genauer: die Bilder der Einheitsvektoren, ausgedrückt bzgl. der Basis
des Zielraums, falls man es mit anderen Basen als der
Basis aus Einheitsvektoren zu tun hat)

und zu 3.: Das Bild einer linearen Abbildung berechnet man, indem
man eine Basis des Urbildraums nimmt, und die Bilder der
Basisvektoren berechnet. Damit erhält man ein Erzeugendensystem
des Bildes, das man dann auf übliche Weise, z.B. mit Gauß, zu
einer Basis des Bildes transformieren kann.