Mathe (schwer)
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hallo ich suche einen beweis für:
x>=0 n aus N; n>=2 gilt
(1+x)^n >= (n2*x2)/4
Klammer im rechten Teil ist nicht nötig, aber so is es besser zu lesen
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n tip is vielleicht logarithmus. da kann man sich die basen irgenwie hinbasteln oder so
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vollst. Induktion?
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Kann dir leider nur einen Ansatz geben (bin grad in Stress):
Betrachte beide Seiten als Funktion in n. Der linke Teil steigt exponential an, der rechte nur quadratisch.
Hoffe, dass dir das was bringt.
[edit]rechts und links verwechsle ich nicht ;)[/edit]
[ Dieser Beitrag wurde am 17.04.2003 um 16:17 Uhr von Kauz01 editiert. ]
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ja suche vollständige Induktion
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hm. Sieht ein wenig der Bernoulli-Ungleichung ähnlich.
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ja ! is aber nicht so einfach wie die
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n ( n ) (a+b)^n = Sum ( ) a^i*b^(n-i) i=0 ( i ) in diesem Fall: n ( n ) (1+x)^n = Sum ( ) x^i i=0 ( i ) Wie sieht's mit dem Faktor vor dem x^2 aus? Der sollte nach Möglichkeit größer als n^2/4 sein, dann ist alles klar, weil wir dann einfach den Rest der Summe fallenlassen. (x>=0 mach die Sache da einfach). wann ist also n über 2 größer als n^2/4? Hoffentlich ab n=2... aber das kannste bestimmt selber nachweisen. MfG Jester
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Ich steh heute wohl aufm schlauch.
warum (n über 2 größer als n^2/4) nachweisen?
insbesondere: woher kommt die 2 bei n über 2
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Ok hab inzwischen verstanden
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Wie kann man etwas verstehen, was nicht stimmt?!
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Bist du dir sicher, dass das nicht stimmt? CIh dachte ich hätte das mal bewiesen, bin aber sicher nicht unfehlbar.
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Nichtmal für n=2 stimmt dat: (1+x)^2 != x^2. Nur für x=-0.5, aber eben nicht für alle!
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(1+x)^n >= (n2*x2)/4 für n = 2:
(1+x)^n = (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 >= x^2 = (2^2 * x^2)/4 = (n2*x2)/4
[edit]oder hab ich dich falsch verstanden?[/edit]
[ Dieser Beitrag wurde am 18.04.2003 um 20:12 Uhr von Kauz01 editiert. ]
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Oh scheiße... hab statt >= ein = gelesen. Sorry.
Hab mich schon gewundert, warum nicht gleich alle sagen, das sei kompletter Unsinn!
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Hmm... i hob's. Das begründet sich alles darauf, dass n^2 >= 2n für n >= 2, denn n >= 2 <==> n-1 >= 1 <==> (n-1)^2 >= 1 <==> n^2 - 2n >= 0. Nun ist zunächst einmal (wie auch schon einmal oben zu sehen)
n ( n ) ( n ) n! n * (n-1) (1 + x)^n = SUM ( ) * x^k >= ( ) x^2 = ------------- * x^2 = ----------- * x^2 k=0 ( k ) ( 2 ) 2! * (n-2)! 2Wegen n^2 >= 2n ist auch n <= (n^2)/2 <==> -n >= (-n^2)/2, und es folgt
n^2 - n n^2 - (n^2)/2 n^2 (1+x)^n >= --------- * x^2 >= --------------- * x^2 = ----- * x^2 2 2 4
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Bingo.
Jetzt wär ich nur noch neugierig, ob mein Ansatz mit Exponentialfunktion vs. Polynom 2.Grades eine Chance hätte. Nächste Woche hab ich Urlaub. Vielleicht komm ich mal dazu.