Was ist die Fouriertransformierte von e^(-x) ...

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i => \delta(t - i/(2π)) = \delta(t - 1/(2πi)), die Dirac-Distribution konzentriert im Punkt 2πi.

Daniel E.

Kenner der Distributionen schrieb:

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i

Bzzt.

Daniel E. schrieb:

Kenner der Distributionen schrieb:

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i

Bzzt.

Hm?

Daniel E.

Es stimmt halt einfach nicht, was man schon daran sieht, daß exp(-x) mehr als eine Frequenz beinhaltet, also im Frequenzsprektrum kaum ein Dirac-Puls rauskommen wird. Deine Formel wird jemand mal für a aus R hergeleitet haben, dann ist die exp-Funktion ja in Sinus und Kosinus aufdröselbar, also in Dinge, die definitiv nur eine Frequenz beinhalten. So viel zur Anschauung.

Wo muß man denn deiner Meinung nach Distributionentheorie bemühen, um das Integral oben auszurechnen?

Setze mal die Variable der Fouriertransformation t = 0. Dann steht da ein Integral von exp(-x) über x \in IR, das nicht existiert.

Allgemein kommt raus:

int(exp(-x*(-1-2*Pi*I*t)),x=-e..e);
             exp(-e (1 + 2 I Pi t)) - exp(e (1 + 2 I Pi t))
           - ----------------------------------------------
                              1 + 2 I Pi t

Für e → ∞, t ≠ 0 konvergiert das auch nicht.

Auch ist die Fourier-Transformierte von 1 (temperierte Distribution) gleich δ. Und Dranmultiplizieren von exp(ax) ergibt eine Translation davon.

Beachte auch, dass die Distribution nicht in IR, sondern in IC - IR konzentriert ist!

Daniel E.

Kenner der Distributionen schrieb:

int(exp(-x*(-1-2*Pi*I*t)),x=-e..e);
Für e → ∞, t ≠ 0 konvergiert das auch nicht.

Ja, aber das ist nicht das gesuchte Integral, deine Grenzen sind falsch.

Die zu transformierende Funktion war, wie im Eingangsbeitrag implizit notiert, exp(-x)*u(x) mit u(x) als Heaviside-Einheitssprung. Dann kommt man auf die korrekten Integrationsgrenzen und das Integral konvergiert. Steht übrigens auch so in der Bronstein-Tabelle.

Achso, ich habe nur die Überschrift gelesen

mir ist jetzt auch aufgefallen, dass das x ja ein minus hat und so nur die grenze 0 zählt. Ich habe dann als ergebnis 1/(-ik-1) genommen. Danke für die mühe.

Daniel E.

Mach noch mal nen Vorzeichentest ...

äh natürlich noch das minus weils die untere integrationsgrenze ist