Was ist die Fouriertransformierte von e^(-x) ...

... eingeschränkt auf positive x?
Könnte mir jemad damit aushelfen?
Siehe: http://mathbin.net/5193
Gibt doch unendlich oder?

.filmor

Nö, wieso?

Der Realteil des Exponenten in deiner Stammfunktion ist negativ, damit geht der Betrag gegen 0 für x gegen unendlich. Der Imaginärteil dreht das ganze ja nur um den Nullpunkt herum (kann man mathematisch auch präziser beschreiben, aber ich denke das reicht so).
Für x gegen 0 kommt auch was anständiges raus, also ist dein Endergebnis 1/(ik - 1) wenn ich das richtig sehe.

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i => \delta(t - i/(2π)) = \delta(t - 1/(2πi)), die Dirac-Distribution konzentriert im Punkt 2πi.

Daniel E.

Kenner der Distributionen schrieb:

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i

Bzzt.

Daniel E. schrieb:

Kenner der Distributionen schrieb:

Die Fourier-Transformation von exp(iax) ist die Distribution \delta(t - a/(2π)).

hier: a = i

Bzzt.

Hm?

Daniel E.

Es stimmt halt einfach nicht, was man schon daran sieht, daß exp(-x) mehr als eine Frequenz beinhaltet, also im Frequenzsprektrum kaum ein Dirac-Puls rauskommen wird. Deine Formel wird jemand mal für a aus R hergeleitet haben, dann ist die exp-Funktion ja in Sinus und Kosinus aufdröselbar, also in Dinge, die definitiv nur eine Frequenz beinhalten. So viel zur Anschauung.

Wo muß man denn deiner Meinung nach Distributionentheorie bemühen, um das Integral oben auszurechnen?

Setze mal die Variable der Fouriertransformation t = 0. Dann steht da ein Integral von exp(-x) über x \in IR, das nicht existiert.

Allgemein kommt raus:

int(exp(-x*(-1-2*Pi*I*t)),x=-e..e);
             exp(-e (1 + 2 I Pi t)) - exp(e (1 + 2 I Pi t))
           - ----------------------------------------------
                              1 + 2 I Pi t

Für e → ∞, t ≠ 0 konvergiert das auch nicht.

Auch ist die Fourier-Transformierte von 1 (temperierte Distribution) gleich δ. Und Dranmultiplizieren von exp(ax) ergibt eine Translation davon.

Beachte auch, dass die Distribution nicht in IR, sondern in IC - IR konzentriert ist!

Daniel E.

Kenner der Distributionen schrieb:

int(exp(-x*(-1-2*Pi*I*t)),x=-e..e);
Für e → ∞, t ≠ 0 konvergiert das auch nicht.

Ja, aber das ist nicht das gesuchte Integral, deine Grenzen sind falsch.

Die zu transformierende Funktion war, wie im Eingangsbeitrag implizit notiert, exp(-x)*u(x) mit u(x) als Heaviside-Einheitssprung. Dann kommt man auf die korrekten Integrationsgrenzen und das Integral konvergiert. Steht übrigens auch so in der Bronstein-Tabelle.

Achso, ich habe nur die Überschrift gelesen

mir ist jetzt auch aufgefallen, dass das x ja ein minus hat und so nur die grenze 0 zählt. Ich habe dann als ergebnis 1/(-ik-1) genommen. Danke für die mühe.

Daniel E.

Mach noch mal nen Vorzeichentest ...

äh natürlich noch das minus weils die untere integrationsgrenze ist