partialbruchzerlegung

zu zerlegen ist folgender Ausdruck:

x^2 +x +2
---------
x^4 +4x^2+4

ich habe nun x^2 mit z substituiert und bin auf folgendes gekommen:

A/ (z+2) + B = z +sqrt(z) +2

wie mache ich jetzt weiter? rücksubstitution liefert:

A(x^2+2) + B = x^2 +x +2

meiner meinung nach darf ich nicht sagen dass a = 1 gelten muss, da ja auch sowas verkorkstes wie B = -x^2 vorkommen könnte oder?

oder was ist jetzt zu tun? einfacher koeefizientenvergleich scheint nicht zu gehen...

leech

okay... ich würde zuerst den nenner vereinfachen... man sieht, dass
x^4 +4x^2 +4 = (x²⁺²⁾2 ist

dann hat man schonmal

x^2 +2 +x
----------
(x²⁺²⁾2

dann kann man ja mal den bruch zerlegen und mal schaun, ob was schönes heraus kommt und dann mal PBZ versuchen...

P.S.: deine substitution könnte problematisch sein, da
x^2 = y <=> x = +sqrt(y) oder x = -sqrt(y).....

mein problem mit der substitution ist eher dass ich sie auf -2 nicht anwenden kann... noch eine idee?

ich kam mit dem hoch 2 ansatz auch nicht weiter - da ich keine nullstellen habe

leech

nullstelen? die brauchst du auch gar nicht bei PBZ...

Satz: Jede rationale Funktion P(x) / Q(x), wobei P(x), Q(x) Polynome sind mit deg P < deg Q, lässt sich ausdrücken als Summe von Funktionen der Form:

a/ (x + b)^n oder (ax + b) / (x^2 +cx + d)^n, wobei a,b,c,d aus |R, n aus |N, und (x^2 +cx +d) keine reellen Nullstellen hat.

so.. was haben wir:

x^2 + 2 + x       x^2 +2               x            1             x
----------   = ----------    +      -------- = ---------- +    --------
(x^2+2)^2       (x^2+2)^2          (x^2+2)^2    (x^2+2)        (x^2+2)^2

und bei dem letzen Bruch kannst du ja nun versuchen den obigen Satz anzuwenden...

bei problemen nochmal nachfragen...

P.S.: zu deinem substitutionsproblem:
beispiel:
x^4 +x^2 -2 = 0

substituiere z = x^2
dann folgt:
z^2 + z -2 = 0
p-q-Formel:
z1 = -1 + sqrt(3)
z2 = -1 - sqrt(3)

und nun kann bzw muss man zurück substituieren...
wie du siehst ist es nicht nötig -2 auf irgendeine art zu substituieren, da -2 nicht von der variabel x abhängt!

wie kommst du auf die werte -1 +/- sqrt(3)

wenn ich das in meinem konkreten beispiel berechne erhalte ich z1 = z2 = -2

und dann is aus mit rücksubstituieren

z = x^2

x^2 = -2 ???

das ist eben mein problem das einzige ergebnis das ich bekomme ist negativ und ich weill nicht ins komplexe

leech

wie gesagt, bei deinem problem funktioniert substitution nicht, da du x schlecht eindeutig als z ausdrücken kannst...
meine werte erhalte ich aus meinem beispiel (!) das ich gemacht habe... es ist in keiner weise mit deinem problem zu vergleichen!

ich kann dir wieder nur raten, mal zu versuchen meinen ansatz weiter zu rechnen, da ich nich bereit bin einfach die lösung komplet zu posten, ohne, dass du selber was gemacht hast... dir selber bringt es auch nichts, wenn du nur die lösung bekommst...

wenn du nicht genau weißt, wie du den obigen satz über partialbruchzerlegung anwenden sollst, dann frag nochmal genau nach, wo dein problem ist...

ich weiß auch nicht, für welches problem du genau die lösung brauchst...
wenn du etwa ein integral über deiner rationalen funktion ausrechnen wolltest, dann wirst du wohl PBZ machen müssen....

P.S.: mit substitution ist die aufgabe vll auch gar nicht lösbar, denn wenn du in deinem titel schon PBZ schreibst und dann nur versuchst zu substituieren, bräuchte man PBZ ja gar nicht, aber das ist doch bestimmt bei der aufgabe so vorgegeben.