Standard für Mathematik

[Hakan B.]

zwutz schrieb:

volkard schrieb:

pumuckl schrieb:

Tatsachen, Naturgesetzte usw. werden grundsätzlich nicht standardisiert.

die mathematischen befriffe sind weder tatsachen, noch naturgesetze. sie sind werkzeuge und bedprfen einer normierung.

ich hab das aber auch eher so verstanden, als wolle der TE eine "Quelle" dafür, dass 3+5 wirklich 8 ergibt und das PI=3.1415926... ist

So ist es. Mir ging es nicht um Regeln und Normierungen von Schreibweisen, sondern um die Mathematik an sich.

pumuckl schrieb:

Tatsachen, Naturgesetzte usw. werden grundsätzlich nicht standardisiert. Standards sind dazu da, um sicherzustellen dass alle etwas bestimmtes gleich machen. Und da man nicht "eine andere Mathematik machen" kann, brauchts da auch keinen Standard.

Aber wie soll man denn wissen, wie die Mathematik zu benutzen ist, wenn man sie nicht standardisiert hat? Man kann ja schließlich ganz einfach eine andere, eine falsche Mathematik benutzen. Wie zum Beispiel hier:
5 + 5 = 87;
Wer nicht weiß, wie man rechnet, kommt auf solche Ideen. Und deshalb muss doch irgendwo definiert sein, wie eine Addition tatsächlich abläuft und dass 5 + 5 tatsächlich 10 und nicht 87 ist.
Außerdem gibt es ja auch einen C++-Standard, obwohl man nicht mal eben "ein anderes C++" programmieren kann. Beweis: Wenn ich in einen Texteditor Java-Code eingebe und den mit einem C++-Compiler kompiliere, gibt es Fehler. Ergo ist die Aussage, dass Tatsachen nicht standardisiert werden, schonmal ad absurudm geführt, denn dass man in C++ cout statt irgendwas mit System.Out.println schreibt, ist eine Tatsache. Genauso wie eben der Fakt, dass 1 + 1 = 2 und nicht 1 + 1 = 32.

[zwutz]

Hakan B. schrieb:

Aber wie soll man denn wissen, wie die Mathematik zu benutzen ist, wenn man sie nicht standardisiert hat? Man kann ja schließlich ganz einfach eine andere, eine falsche Mathematik benutzen. Wie zum Beispiel hier:
5 + 5 = 87;
Wer nicht weiß, wie man rechnet, kommt auf solche Ideen. Und deshalb muss doch irgendwo definiert sein, wie eine Addition tatsächlich abläuft und dass 5 + 5 tatsächlich 10 und nicht 87 ist.

das ist einfach so... Das hat die Natur und unsere Sprache so definiert und wir müssen uns dran halten... Und da sich das auch nicht ändern wird, muss auch nichts festgelegt werden. Selbst wenn wir sagen würden, dass 5+5 ab jetzt 12 ergibt hat sich damit nur unsere Sprache geändert. Dann müssten wir halt nach der 9 die 12 nennen.

Hakan B. schrieb:

Außerdem gibt es ja auch einen C++-Standard, obwohl man nicht mal eben "ein anderes C++" programmieren kann. Beweis: Wenn ich in einen Texteditor Java-Code eingebe und den mit einem C++-Compiler kompiliere, gibt es Fehler. Ergo ist die Aussage, dass Tatsachen nicht standardisiert werden, schonmal ad absurudm geführt, denn dass man in C++ cout statt irgendwas mit System.Out.println schreibt, ist eine Tatsache. Genauso wie eben der Fakt, dass 1 + 1 = 2 und nicht 1 + 1 = 32.

C++ ist eine künstlich erschaffene Programmiersprache. Das mit natürlich entstanden Sprachen oder gar den Naturgesetzen gleichzusetzen ist ein wenig sehr weit hergeholt

[~fricky]

Hakan B. schrieb:

Aber wie soll man denn wissen, wie die Mathematik zu benutzen ist, wenn man sie nicht standardisiert hat? Man kann ja schließlich ganz einfach eine andere, eine falsche Mathematik benutzen. Wie zum Beispiel hier:
5 + 5 = 87;
Wer nicht weiß, wie man rechnet, kommt auf solche Ideen.

nö, er kann z.b. mit den fingern seiner hände nachprüfen, das da was nicht stimmt. es gibt so'n paar 'angenommene' wahrheiten und daraus ist die ganze mathematik gesponnen. wenn irgendwas aus diesen wahrheiten abgeleitet werden kann, dann ist es ebenso wahr. das wird nichts willkürlich definiert, wie z.b. 'ein meter ist der die strecke, die ein lichtstrahl in einer bestimmten zeit zurückgelegt hat.

[Skym0sh0]

Darth Maul schrieb:

P.S.: Console.WriteLine(this.Author.Replace("Darth", "Halt's"));

lol^^

was meinst du warum wir hier in nem c-plusplus forum sind?
damit alle C# sprechen?

[pasti]

Es ist vielleicht hilfreich den Begriff "formale Theorie" einzufuehren. Im folgenden beschraenke ich mich auf zweiwertige klassische Logiken oder zweiwertige Praedikatenlogiken.

Eine formale Theorie ist ein Paar bestehend aus einer Logik und einer Mege von Aussagen die als wahr definiert sind, Axiome genannt.

Eine Aussage in einer Theorie ist wahr gdw. die Aussage mit der Logik aus der gegebenen Axiomenmenge ableitbar ist. Sie ist falsch wenn die Negation ableitbar ist. Falls weder die Negation noch die Aussage selbst ableitbar ist, bezeichnet man die Aussage als unentscheidbar.

Ist in einer formalen Theorie eine Aussage exklusiv entweder wahr, falsch oder unentscheidbar, bezeichnet man die Theorie als wiederspruchsfrei.

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Die Mathematik wie man sie so kennt ist eine formale Theorie mit der ZFC als Axiomenmenge und der Praedikatenlogik erster Stufe mit Identiaet als Logik. Das ist sozusagen der Standard.

Leicht andere formale Theorien welche Logik hoeherer Stufe oder ganz leicht anderen Axiomen verwenden bezeichnet man immer noch als die Mathematik, denn grundlegenden Dinge bleiben gleich. Oft kann man aber in sehr schwierigen Faellen mehr beweisen oder gewisse pathologische Faelle verhalten sich anderst. Die Schulmathematik bleibt aber ueberall dieselbe.

edit: Habe den Begriff der Logiken etwas zu weit gefasst fuer gewisse Aussagen.

[Hakan B.]

zwutz schrieb:

C++ ist eine künstlich erschaffene Programmiersprache. Das mit natürlich entstanden Sprachen oder gar den Naturgesetzen gleichzusetzen ist ein wenig sehr weit hergeholt

Warum? C++ ist genauso festgelegt wie die Naturgesetze. Die sind ja auch bloß irgendwo aufgeschrieben. Wie eben der C++-Standard. Dass alles gleich schnell fällt, geht zum Beispiel auf Newton zurück. Und dass es in C++ Klassen gibt, geht auf Stroustrup zurück. Was sagst du nun?

~fricky schrieb:

Hakan B. schrieb:

Aber wie soll man denn wissen, wie die Mathematik zu benutzen ist, wenn man sie nicht standardisiert hat? Man kann ja schließlich ganz einfach eine andere, eine falsche Mathematik benutzen. Wie zum Beispiel hier:
5 + 5 = 87;
Wer nicht weiß, wie man rechnet, kommt auf solche Ideen.

nö, er kann z.b. mit den fingern seiner hände nachprüfen, das da was nicht stimmt.

Gut. Und wenn wir jetzt nicht 5 + 5, sondern 91 + 32 rechnen? Dann funktioniert das mit den Fingern nicht mehr, weil wir nur 10 Finger haben. --> These widerlegt.

pasti schrieb:

Es ist vielleicht hilfreich den Begriff "formale Theorie" einzufuehren.

Eine formale Theorie ist ein Paar bestehend aus einer Logik und einer Mege von Aussagen die als wahr definiert sind, Axiome genannt.

Eine Aussage in einer Theorie ist wahr gdw. die Aussage mit der Logik aus der gegebenen Axiomenmenge ableitbar ist. Sie ist falsch wenn die Negation ableitbar ist. Falls weder die Negation noch die Aussage selbst ableitbar ist, bezeichnet man die Aussage als unentscheidbar.

Ist in einer formalen Theorie eine Aussage exklusiv entweder wahr, falsch oder unentscheidbar, bezeichnet man die Theorie als wiederspruchsfrei.

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Die Mathematik wie man sie so kennt ist eine formale Theorie mit der ZFC als Axiomenmenge und der Praedikatenlogik erster Stufe mit Identiaet als Logik. Das ist sozusagen der Standard.

Leicht andere formale Theorien welche Logik hoeherer Stufe oder ganz leicht anderen Axiomen verwenden bezeichnet man immer noch als die Mathematik, denn grundlegenden Dinge bleiben gleich. Oft kann man aber in sehr schwierigen Faellen mehr beweisen oder gewisse pathologische Faelle verhalten sich anderst. Die Schulmathematik bleibt aber ueberall dieselbe.

OK, das ist mir jetzt zu kompliziert. Na ja, macht nichts. Hat sich sowieso erledigt, ich hab mir jetzt nämlich ne PlayStation 3 gekauft.

[zwutz]

Hakan B. schrieb:

Was sagst du nun?

Das du entweder lernresistent, stupide oder einfach nur ein gelangweilter Troll bist.

Deine fadenschneidigen Gegenargumente lassen zumindest keinen anderen Schluss zu

[Hakan B.]

Hey, bitte bezeichne mich nicht als lernresistent oder als Troll.

[Hakan B.]

Ähm, und als stupide bitte auch nicht.

[~fricky]

Hakan B. schrieb:

~fricky schrieb:

Hakan B. schrieb:

Aber wie soll man denn wissen, wie die Mathematik zu benutzen ist, wenn man sie nicht standardisiert hat? Man kann ja schließlich ganz einfach eine andere, eine falsche Mathematik benutzen. Wie zum Beispiel hier:
5 + 5 = 87;
Wer nicht weiß, wie man rechnet, kommt auf solche Ideen.

nö, er kann z.b. mit den fingern seiner hände nachprüfen, das da was nicht stimmt.

Gut. Und wenn wir jetzt nicht 5 + 5, sondern 91 + 32 rechnen? Dann funktioniert das mit den Fingern nicht mehr, weil wir nur 10 Finger haben. --> These widerlegt.

doch, das funktioniert immer noch. dann nimmt er eben 91 und 32 kieselsteine, schüttet sie auf einen haufen und zählt sie aus.

[pasti]

Hakan B. schrieb:

OK, das ist mir jetzt zu kompliziert. Na ja, macht nichts. Hat sich sowieso erledigt, ich hab mir jetzt nämlich ne PlayStation 3 gekauft.

Ich denke, dass mein Beitrag deine Frage ziemlich genau beantwortet. Ich gehe natürlich davon aus, dass du die von mir verwendeten Begriffe selber nachschlägst.

[DerRatlose]

Hakan B. schrieb:

Hat sich sowieso erledigt, ich hab mir jetzt nämlich ne PlayStation 3 gekauft.

Wieso erledigt sich das Thema, wenn du dir eine Playstation 3 kaufst??

Mit freundlichen Grüßen
DerRatlose

[Frager]

pasti schrieb:

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Meinst du damit, dass man eine unentscheidbare Aussage willkürlich als wahr oder falsch festlegen kann? Kann man diesen Satz beweisen?

[|} *whoosh* -->]

Hakan B. schrieb:

OK, das ist mir jetzt zu kompliziert. Na ja, macht nichts. Hat sich sowieso erledigt, ich hab mir jetzt nämlich ne PlayStation 3 gekauft.

math is hard. Let's go shopping!

[Jester]

Frager schrieb:

pasti schrieb:

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Meinst du damit, dass man eine unentscheidbare Aussage willkürlich als wahr oder falsch festlegen kann? Kann man diesen Satz beweisen?

Ja natürlich kann man das. Angenommen es wir hätten ein System mit den Axiomen A_1,...,A_n und eine unentscheidbare Aussage B. Angenommen durch hinzufügen von B ergäbe sich ein System, das nicht widerspruchsfrei ist. Das bedeutet, es ließe aus A_1,...,A_n,B etwas falsches ableiten. Dann ist doch genau diese Ableitung nichts anderes als ein Widerspruchsbeweis von "nicht B" im Axiomensystem A_1,...,A_n (man nimmt an, dass B gilt und führt dies mit A_1,...,A_n zum Widerspruch). Also wäre damit der Beweis von "nicht B" im Axiomensystem A_1,...,A_n erbracht. Das steht aber im Widerspruch zur Annahme, dass B nicht entscheidbar ist. Die Argumentation für das widerspruchsfreie Hinzufügen von "nicht B" funktioniert natürlich analog.

[pasti/uni]

Ich beschraenke mich im folgenden auf zweiwertige Praedikatenlogiken oder klassische Aussagelogiken, und habe das dem oberen Beitrag noch hinzugefuegt. Ansonsten wuerde diese Aussage unter Umstaenden nicht stimmen, das war ein Unachtsamkeit von mir.

Frager schrieb:

pasti schrieb:

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Meinst du damit, dass man eine unentscheidbare Aussage willkürlich als wahr oder falsch festlegen kann? Kann man diesen Satz beweisen?

Ja, dass ist korrekt.

Notation: n Und, u Oder, ~ Nicht
Beweis:
Sei eine wiederspruchsfreie Theorie mit Axiomen S=S(1)nS(2)n...nS(i) gegeben. Weiter sei die Aussage A nicht entscheidbar.

Nehme nun an die Theorie wird wiederspruechlich, wenn A hinzugefuegt wird sprich wenn A als wahr definiert wird. 

Also existiert eine Aussage C mit: AnS => C und AnS => ~C

Aus ~(AnS => ~C) folgt C=>~Au~S und da S per Definition wahr ist folgt C=>~A.

Mit der transitivitaet der Implikation folgt AnS => ~A also A=>~A.

Somit folgt der gewuenschte Wiederspruch da A als wahr angenommen wurde.

Ich mache vielleicht mal zwei Beispiele von nicht wiederspruchsfreien Systemen in der klassischen Aussagelogik:

1. Definiere 'falsch' als Axiom. Da Axiome per Definition wahr sind, habe ich den Ausdruck 'falsch ist wahr' in meiner Theorie und daher ist diese wiederspruechlich.

2. Man habe eine Menge von Axiomen die eine wiederspruchsfreie Theorie bilden.
Wenn ich nun zwei Aussagen 'A' und 'B' als Axiome hinzufuege kann es ja sein, dass ich aus A und den anderen Axiomen eine Aussage C herleiten kann und aus B und anderen Axiomen die Aussage 'nicht C'. Dann haette ich einen Wiederspruch.

[pasti]

Ups, zu langsam. Habe die Seite nicht aktualisiert.

[*john 0]

Hakan B. schrieb:

Hallo,
weiß hier jemand, ob Mathematik von der ISO standardisiert wurde?

Nein, die Mathematik ist nicht ISO normiert worden. Einfach weil es bei einem sich ständig änderndem Subjekt sinnlos wäre. Die Grundregel finden sich ohnehin in jedem Lehrbuch, die braucht niemand besonders zu erklären, und was die jeweiligen Zeichen bedeuten muß man sowie so aus dem Kontext der jeweiligen Arbeit entnehmen.

[Frager]

Danke euch beiden.

[Gast]

Wie ist das eigentlich bei den natürlichen Zahlen... Müsste die Zahl 10 nicht eigentlich eine 'Ziffer' sein, weil man ansonsten eine 'endlos' Rekursive Definition von Zahlen >= 10 in unserem Dezimalsystem hat? Als es die 0 noch nicht 'gab', hatte die 10 da ein einzelnes Zeichen?

Der Nichtmathematiker