Punkte eines Kegelschnitts berechnen

xindon

Hallo,

angenommen, ich habe eine Ebene gegeben und einen Doppelkegel, dessen Spitze im Ursprung liegt und dessen Öffnungswinkel bekannt ist.

Wie kann ich denn dann am besten die Punkte berechen, die auf dem Kegelschnitt liegen? Ich stehe bei dem Problem momentan echt auf dem Schlauch.

Vielen Dank im Voraus!

Gruß,
Tim

Hallo Tim

Ist nicht ganz einfach. Mein Vorschlag:

10 Koeffizienten Gleichung des Kegels ermitteln.

Mit Ebene schneiden, den Kegelschnitt in eine der Haupt-
ebenen xy, xz oder yz projezieren (eine geeignete wählen,
in der der Kegelschnitt nicht entartet) dann Punkte auf
Kegelschnitt in 2d berechnen und anschließend wieder
"rüchtransformieren".

Gruß,

Andreas

xindon

Hi Andreas,

die Punkte sind auch der zweite Schritt. Mich bewegt momentan die Frage, wie ich den Kegelschnitt überhaupt berechne. Von dieser 10 Koeffizientengleichung habe ich noch nichts gehört und werde auch nicht wirklich fündig.

Kannst du mir deine Idee vielleicht näher erläutern; auch was du mit "Ebene schneiden" meinst?

Gruß,
Tim

Hallo Tim,

jede Quadrik (Fläche 2. Ordnung) lässt sich in dieser
Form darstellen. Quadriken sind z. B. Zylinder, Kegel, Kugel usw.

Da dein Kegel in Hauptachsenform vorliegt ist die Berechnung der 10. Koeff.
recht einfach.

Kegel mit Ebene schneiden, ist doch eigentlich klar,
deshalb heißen diese Kurven ja Kegelschnitte.

Habe da evtl. auch Code ist aber in FORTRAN muss man halt umschreiben.
Vielleicht habe ich auch was in C muss ich mal nachsehen, da ich das
vor vielen Jahren prog. habe.

Wofür brauchst du die Sachen?

Gruß,

Andreas

xindon

Da in Mathe bei uns jetzt das schriftliche Abitur rum ist, machen wir die nächsten Wochen in der Schule bis zum mündlichen noch so eine Art Gruppenprojektarbeit. Mit einem Freund entwerfe ich dabei eine Visualisierung zu Kegelschnitten.

Habe jetzt erste Ressourcen zu den Flächen zweiter Ordnung gefunden und werde mir das mal näher anschauen. Vielen Dank!

pascal2009

xindon schrieb:

Hallo,

angenommen, ich habe eine Ebene gegeben und einen Doppelkegel, dessen Spitze im Ursprung liegt und dessen Öffnungswinkel bekannt ist.

Wie kann ich denn dann am besten die Punkte berechen, die auf dem Kegelschnitt liegen? Ich stehe bei dem Problem momentan echt auf dem Schlauch.

Vielen Dank im Voraus!

Gruß,
Tim

Was ist denn ein Doppelkegel? Und wenn es ein Doppelkegel ist, wo liegen denn DIE Spitzen und nicht dessen Spitze? Versteh die Frage nicht.

Kegel berechnet man so:

Schneidesst du ihn inder Mitte durch betrachtest ihn auf einer Seite, also x z. B.,

Höhe steht, da Steigung konstant, in einem festen Verhältnis zu x, nämlich:

h/x=tan(winkel_vertikal); demnach: h=tan(winkel_vertikal)*x;
Und:
x= h/tan(winkel_vertikal);

Der Radius des Höhenpunktes errechnet sich nach:

R_Grundflächenradius-hoehe/tan(winkel_vertikal);

Alle Punkte auf dem Kegel Außenrand in einer bestimmten Höhe kriegst du mit der stinknormalen Kreisformel:

x=sin(winkel_horizontal)*radius
y=cos(winkel_horizontal)*radius

Sieht dann so aus:

http://www.cnc-arena.de/forum/uploads/post-191-1233088561.jpg

Der Kegel hat eine sehr geringe Steigung, ist aber ein echter Kegel.

@Pascal2009: Wenn man keine Ahnung hat einfach mal F... halten.

Ein Doppelkegel hat EINE Spitze

xindon

Okay, habe mich vorhin mit Stift und Papier nochmal in Ruhe hingesetzt und mir was überlegt:

Der Doppelkegel liegt auf der Y-Achse und seine Spitze im Ursprung. Somit lässt er sich beschreiben durch: x² + z² = y²/e², wobei e=cot(alpha). Alpha ist der halbe Öffnungswinkel.
Die Ebene wird beschrieben durch ax + bx + cy = d. Dies z.B. nach y umstellen, in Kegelformel einsetzen und schließlich nach z auflösen.

Jetzt habe ich eine Formel, die mir zwei z-Werte zu gegebenen x-Wert liefert. Die dazugehörigen y-Werte bestimme ich über die Ebenengleichung.

Morgen werde ich das Verfahren mal testen. Eine mir bewusste Einschränkung ist momentan dabei natürlich, dass die Ebene nicht parallel zur y-Achse sein darf.

Nächstes Problem ist, festzustellen, in welchem Intervall sich die x-Werte befinden, sodass ich in diesem Bereich einige Werte berechnen kann.

Ist das so als ersten Versuch in Ordnung oder habe ich bereits einen fatalen Denkfehler in meinem Ansatz?

Gruß,
Tim

Hallo Tim,

deine Einschränkung brauchst du nicht machen, auch sich
schneidende Geraden gehören zu den Kegelschnitten.
Die treten auf, wenn die Y-Achse in der Ebene liegt.
Bei Parallelität der Ebene zur Y-Achse erhält man glaube
ich so aus dem Kopf, zwei Hyperbeläste (ohne Gewähr)

Alle möglichen Kegelschnitte:

Kreis, Parabel, Hyperbel, Ellipse, sich schneidende Geraden,
parallele Geraden und ne imaginäre Lösung, die brauchst du
wohl nicht berücksichtigen.

Die parallelen Geraden erhält man unter bestimmten Voraussetzungen
beim Schnitt Zylinder-Ebene. Solltest du der Vollständigkeit halber
erwähnen. Alle anderen KS treten beim Schnitt Kegel-Ebene auf.

Gruß,

Andreas

habst gerade vergessen:

Ein abgeschlossenes Intervall für die X-Werte
wirst du nur bei Kreisen und Ellipsen bekommen.

Gruß,

Andreas

xindon

Hallo Andreas,

es ist nicht so, dass mir Kegelschnitte völlig fremd sind. Ich weiß schon, unter welchen Bedingungen welcher entsteht.

Mit Einschränkung meinte ich lediglich eine Einschränkung in meiner Formel. Ebenen parallel zur Y-Achse muss ich gesondert behandeln, da die Berechnung nach meiner Formel dann nicht möglich sind (Division durch Null zum Beispiel).

Bei Parabeln und Hyperbeln werde ich auch ein (theoretisch) abgeschlossenes Intervall haben, da ich ja nur einen Ebenenausschnit darstelle (ein Rechteck).
Ich frage mich nur, wie ich zum Beispiel, wenn ich weiß, dass es sich um eine Ellipse handelt, das Intervall am besten bestimme.

Gruß,
Tim

Hi Tim,

also mal so aus dem Bauch:

Ich würde die Ebene bei der eine Ellipse entsteht mit der Y-Achse
schneiden, also Durchstosspunkt berechnen. Der Kegelradius in dieser
"Höhe" ist dann der kleine Halbmesser der Ellipse und wenn ich nicht
falsch überlegt habe müsstest du damit doch die Intervallgrenzen haben.

Den Kegelradius in der Höhe des Durchstosspunktes kriegst du sicher
über den Öffnungswinkel und ne Winkelfunktion.

Gruß,

Andreas

Hi Tim,

also mal so aus dem Bauch:

Ich würde die Ebene bei der eine Ellipse entsteht mit der Y-Achse
schneiden, also Durchstosspunkt berechnen. Der Kegelradius in dieser
"Höhe" ist dann der kleine Halbmesser der Ellipse und wenn ich nicht
falsch überlegt habe müsstest du damit doch die Intervallgrenzen haben.

Den Kegelradius in der Höhe des Durchstosspunktes kriegst du sicher
über den Öffnungswinkel und ne Winkelfunktion.

Gruß,

Andreas