Wieso kommt bei der Kreisfläche r² vor?

Hallo!

In meinem Buch wird die Kreisfläche mit Vielecken näherungsweise berechnet und man kommt auf diese Formel für doppelte Eckenzahl: f_2n = r/ρ_n * f_n. Weiter folgt eine Wertetabelle mit Werten:

n | f_n
__________________
3 | 1,299 * r²
6 | 2,598 * r²

Nur weiss ich nicht, wieso es jetzt r² heißt. In der oberen Formel gibt es kein r². Womit hängt das zusammen?

Danke!

Die Fläche f_n selbst ist von r² abhängig. Die Zahl davor ist lediglich das Verhältnis der Fläche des Vielecks zu einer Flächeneinheit. Umso größer der Kreis, umso größer wird auch das innen liegende Vieleck.
Die 1.299 sind dann 3/4*Wurzel(3). Das ist genau die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in einem Kreis mit dem Radius 1. Wird der Kreis größer wächst die Dreiecksfläche mit r².

Ich gehe mal davon aus, dass p_n der Abstand einer Seite des Vielecks vom Kreismittelpunkt ist.

Werner_logoff schrieb:

Die Fläche f_n selbst ist von r² abhängig.

Wie denn bitte? Ich kann es einfach nicht herleiten. man berechnet doch immer mehr fläche durch verdoppeln der ecken. der radius r bleibt aber konstant und p_n wird größer! warum heisst es dann auf einmal r² obwohl die fläche doch durch f_2n = r/ρ_n * f_n definiert wäre?

Werner_logoff schrieb:

Ich gehe mal davon aus, dass p_n der Abstand einer Seite des Vielecks vom Kreismittelpunkt ist.

Ja, das meinte ich auch so.

Werner Salomon

Kreisjunge schrieb:

Werner_logoff schrieb:

Die Fläche f_n selbst ist von r² abhängig.

Wie denn bitte? Ich kann es einfach nicht herleiten. man berechnet doch immer mehr fläche durch verdoppeln der ecken. der radius r bleibt aber konstant und p_n wird größer! warum heisst es dann auf einmal r² obwohl die fläche doch durch f_2n = r/ρ_n * f_n definiert wäre?

Leite doch einfach mal f₃ her. Schade, dass man hier kein Bild malen kann ...
Der Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks dessen Ecken auf einem Kreis mit dem Radius r liegen, fällt wegen der Symmetrie auf den Mittelpunkt des Kreises. Der Schwerpunkt ist gleichzeitig Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, die sich bekanntlich immer im Verhältnis 2:1 schneiden. Folglich ist 2/3 einer Seitenhalbierenden identisch zu r.

Die Kantenlänge des Dreiecks sei s. Im gleichseitigen Dreieck ist die Höhe 1/2*Wurzel(3)*s - die Fläche ist demnach
f₃=1/2 * 1/2*Wurzel(3)*s * s = 1/4*Wurzel(3)*s² (1)
Die Höhe mit 1/2*Wurzel(3)*s ist identisch zur Seitenhalbierenden ist identisch zu 1,5r (s.o.)
1/2*Wurzel(3)*s = 3/2r
bzw.:
s = Wurzel(3)r
einsetzen in (1) ergibt
f₃ = 1/4*Wurzel(3)*3r² = 3/4*Wurzel(3) * r² ist etwa 1,299 r²

Gruß
Werner

Werner Salomon schrieb:

Schade, dass man hier kein Bild malen kann ...

schau mal unter wikipedia: kreis->kreisfläche.

vielen dank, werner! die ersten paar sätze haben schon gereicht, danach hatte ich selbst alles auf dem papier. den wald vor lauter bäumen nicht gesehen.