Mathe

Griffin

leider falsch Blue-Tiger.
Umgeformt ist es tatsächlich die n-te Wurzel aus n. und für n->unendlich läuft das eben auch von rechts gegen 1! von daher ist die behauptung richtig!

Jester

Stimmt, jetzt fehlt nur noch der Beweis. Der von Japro funktioniert so nicht, weil er das äußere und das innere n getrennt voneinander laufen läßt.
Beispiel: (1+1/n)^n für n-->unendlich:
Der Grenzwert ist e (das ist so definiert).
Lasse ich jetzt aber erst das innere n laufen, dann ergibt sich: 1+1/n --> 1 => 1^n=1, also ist der Grenzwert 1

Kann also so nicht stimmen.

Ich versuch's hier mal:

zunächst gilt:

1 = nte Wurzel (1) <= nte Wurzel (n)

Betrachte jetzt die Folge an mit an = nte Wurzel(n) - 1. (an>=0 für alle n € N)
Zeige: an --> 0

Für alle n € N gilt:
n = (nte Wurzel (n))^n = (1+an)^n = Sum(k=0 bis n) [n über k]* 1^(n-k)*ank

durch Weglassen aller Summanden bis auf einen folgt:

= n über 2 * an^2 = n*(n-1)/2 * an^2

also: n >= n*(n-1)/2 * an^2 für alle n€N bzw. an^2 <= 2/(n-1) für alle n>=2
=> 0<= an <= sqrt(2/(n-1)) für alle n>=2
=> an --> 0
=> Beh.

Walli

Original erstellt von <Thobias>:
wie kann ich zeigen, dass lim (n->unendlich) n^(1/n) =1 ist ?

Ich würde sagen am einfachsten mit l'Hospital. Du musst beweisen, dass 1/n gegen 0 strebt wenn n gegen unendlich strebt.

Laut l'Hospital:

lim             z(x)   z'(x)
n->unendlich    ---- = -----
                n(x)   n'(x)

Also 1/n = 0/1 = 0
Somit also n^(1/n) = n^0 = 1, oder? Bin mir nicht 100%ig sicher.

Gregor

Original erstellt von MaSTaH:
**
Somit also n^(1/n) = n^0 = 1, oder?**

Wenn du n gegen unendlich gehen läßt, dann steht da letztendlich "unendlich hoch null". Das kann alles sein. Du mußt schon mit meinem Ansatz anfangen und l'Hospital erst dann anwenden. Das kannst du auch, da e^x eine stetige Funktion ist und du den limes somit in die Funktion ziehen kannst:

lim e^f(x)          = e^lim f(x)
n->unendlich          n->unendlich

[ Dieser Beitrag wurde am 05.05.2003 um 16:45 Uhr von Gregor editiert. ]

Walli

Irgendwas hoch 0 ist doch immer 1.

Original erstellt von MaSTaH:
Irgendwas hoch 0 ist doch immer 1.

bloß 0^0 ist undefiniert, bzw. umstritten. I.d.R. ist aber 0^0:=1 sinnvoll

und mit \infty kannst du _so_ nicht rechnen!

Gregor

Original erstellt von MaSTaH:
Irgendwas hoch 0 ist doch immer 1.

1. Es ist nicht 0, sondern es geht gegen 0.

2. Gegenbeispiel:

lim       (e^n)^(1/n)
n->unendlich

Das geht nicht gegen 1, sondern gegen e.

Walli

Original erstellt von <KingRuediger>:
und mit \infty kannst du _so_ nicht rechnen!

Wieso? Ist unendlich^0 nicht als 1 definiert?

Original erstellt von MaSTaH:
Wieso? Ist unendlich^0 nicht als 1 definiert?

nein, ist unbestimmter Ausdruck und muss in jedem Einzelfall neu bestimmt werden (logarithmieren und dann l'Hospital)

Walli

Original erstellt von Gregor:
**
lim (eⁿ⁾(1/n)
n->unendlich [/code]
Das geht nicht gegen 1, sondern gegen e.**

Ja, aber auch nur wegen den Potenzgesetzen, oder?
(eⁿ⁾(1/n) <=> e^(n/n) <=> e^1 <=> e

Gregor

Original erstellt von MaSTaH:
Ja, aber auch nur wegen den Potenzgesetzen, oder?
(eⁿ⁾(1/n) <=> e^(n/n) <=> e^1 <=> e

Mist, so war das tatsächlich nicht gedacht. Vielleicht hätte ich mal nachdenken sollen, bevor ich was poste. ...aber natürlich ist das trotzdem ein gültiges Beispiel. Du mußt das nicht vereinfachen, sondern kannst einfach so für n unendlich einsetzen. Dann steht da unendlich hoch 0 und es konvergiert nicht gegen 1.

Jester

@Mastah:

Du machst den Fehler, den ich zu Beginn meines Postings weiter oben beschrieben hatte. Du läßt die ns getrennt laufen. Du mußt sie aber gleichzeitig laufen lassen.

Mit Deiner Argumentation könntest Du auch beweisen, daß 2*n/n gegen 0 geht für n-->unendlich:

Siehst Du das untere n? Wenn wir das gegen unendlich laufen lassen, dann wird der Bruch doch 0, oder?

Und zur Frage, warum kann man mit unendlich nicht rechnen:

Was sollte denn 0*unendlich sein? 0, undendlich oder doch 42?

Betrachten wir doch mal die Folge an = n, und die Folge bn = 1/n

Der Grenzwert von an sei a, der von bn b

cn = r*an*bn

Vorsicht, hier stimmt's nicht wirklich
lim cn = r*a*b = (r*undenlich) * 0 = unendlich * 0 = ???
Aber es gilt:

lim cn = r*n*1/n = r, Aber r beliebig. Das heißt:

0*unendlich müßte jede beliebige Zahl ergeben. Das wäre allerdings ziemlich ungünstig. Also lassen wir das mal lieber.

Und mit dem d'lHospital wär ich bei nte Wurzel n etwas zurückhaltend.
Ansonsten möchte ich die Gelegenheit nochmal nutzen und auf mein obiges Posting verweisen.

MfG Jester

[ Dieser Beitrag wurde am 06.05.2003 um 01:13 Uhr von Jester editiert. ]