Mathe (sehr schwer)

Hallo ,

ich benötige die Lösung von:

Für einen Körper K sei K* = K \ {0}. Weiter sei a aus R+:={x aus R: x > 0} und S1:= {z aus C*:|z| = 1}

Bestimmung der Faktorgruppe R* \ R+

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Jester

Hab etwas länger gebraucht, um das zu verstehen. Vielleicht solltest Du das Problem etwas klarer formulieren.
Zum Beispiel welche Gruppenstruktur Du meinst.

Für einen Körper K sei K* = K \ {0}.

Für einen Körper ist K* = K\{0}

Weiter sei a aus R+:={x aus R: x > 0} und S1:= {z aus C*:|z| = 1}

Okay, das mit dem R+ seh ich ein, was das S1 soll ist mit Schleierhaft. Hat wohl nix mit dieser Aufgabe zu tun.

Bestimmung der Faktorgruppe R* \ R+

R*/R+ macht das Sinn?

Okay, beides sind offensichtlich mulitplikative Gruppen, R+ Untergruppe von R*
Und wegen der Kommutativität von R wohl sicher auch Normalteiler. Soweit scheint das mal sinnvoll zu sein. Ich persönlich würde ja mal tippen, daß die Faktorgruppe R*/R+ isomorph zu Z/2Z ist. (Die Elementzahl ist wohl in etwa die Hälfte, das ist aber *keine* Mathematik, sondern Intuition. Der Beweis kommt erst):

Wir brauchen also einen Homomorphismus von R* nach Z/2Z mit Kern R+:

Phi: R* --> {1,-1} multiplikativ
x |--> sgn(x) (das Vorzeichen, also 1 für +, -1 für -)

um die 0 brauch ich mir keine Gedanken machen, da 0 nicht in R* ist.

nachzurechnen ist: Phi ist Homomorphismus, kannste selber machen.
Phi surjektiv (klar, z.B. Phi(1) = 1, Phi(-1) = -1)

Kern Phi:
x € Kern(Phi) <=> Phi(x) = 1 <=> sgn(x) = 1 <=> x>0 <=> x€R+

Also nach Homomorhpiesatz: R*/R+ ~= Z/2Z (es gibt nur eine Gruppe mit 2 Elementen, daher Z/2Z).

MfG Jester

[ Dieser Beitrag wurde am 06.05.2003 um 18:56 Uhr von Jester editiert. ]

Hallo Jester !

Vielen Dank für die Antwort.

Bis dann, Sandra