Matheaufgabe(analytische Geometrie)

Moin,

Ich stehe vor einem Rätsel. Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:

Bestimmen Sie den Kreis durch die Punkte A und B, der die Gerade g berührt

hier die PUnkte a und b A(1|-6) B(-3|2) und die Gerade

g:vec(-3 4 ) *vec(x)-37=0

Kann mir jemand sagen, wie ich diese aufgabe rechnerisch am besten löse ?
Ich möchte nicht alles vorgekaut und fertig serviert bekommen, aber es wäre gut, wenn es jemand auf dem Niveau der 12ten Klasse erklären könnte.

Danke !

Lusches

Jester

Die Mittelpunkt aller Kreise, die A und B enthalten liegen auf einer Geraden (nämlich der, die senkrecht zu der Verbindungsstrecke AB liegt und diese in ihrem Mittelpunkt schneidet). Diese Gerade lässt sich natürlich auch als ein Punkt mit einem Parameter schreiben. Für diesen Punkt kannst Du nun rausfinden für welchen Parameterwert sein Abstand von A gerade gleich seinem Abstand von g ist.

Hilft Dir das erstmal weiter?

Daniel E.

Überleg dir mal, wo der Mittelpunkt von deinem Kreis liegen muß.

Der Mittelpunkt ist so definiert, daß er von allen Punkten auf der Kreislinie gleich weit weg ist. Wie kannst Du alle Punkt beschreiben, die von A und B gleich weit weg sind? Skizze hilft.

Jetzt fehlt noch eine Bedingung mit der Gerade. Wie bekommst Du die unter?

Uh, oh, bin ich langsam.

Hallo Lusches,

diese Form der Geradendarstellung kenne ich leider nicht.

Forme mal in g: Punkt + Lambda * Richtungsvektor um

Tipp schon mal:
Erstmal Skizze anfertigen
Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Mittel-
senkrechten zu AB.

Gruß,

Andreas

volkard

AndreasBo schrieb:

Hallo Lusches,
diese Form der Geradendarstellung kenne ich leider nicht.

eigentlich kennst du die normalenform mit x*normalenvektor-d=0
nur biste die in 3 dimensionen gewohnt, wo sie eine ebene beschreibt.
in 2 dimensionen beschreibt sie halt eine gerade.

vermutlich wird eh erstmal die richtung der zu AB denkrechten geraden gesucht, also der normalenvektor, der schon direkt mit vec(-3 4 ) gegeben ist. vielleicht bringt umformen hier gar nix.

Das hilft mir doch schon weiter. Danke Jungs

Die Gerade müsste so aussehen :

(-37/3 )         (4/3)
(  0   )   + t*  ( 1 )

Ist das soweit richtig ?

Dann habe ich als Mittelsenkrechte folgende Gerade :

(-1)       (1)
(-2)  +t*  (2)

den abstand von dem Punkt X zum Punkt A berechne ich mit :

| vec(0->A) - vec(0->X) |

Ist das soweit noch richtig ? :p

Bei der Mittelsenkrechten hast du beim
Richtungsvektor x und y vertauscht.
Kontrolliere es anhand deiner Skizze.

Ja, mit dem Richtungsvektor hast du recht
Irgendwie stehe ich jetzt auf dem Schlauch. Ich muss ja den abstand von dem Punkt X zum punkt A mit dem Abstand von Punkt X mit der Geraden gleichsetzen.
Den Abstand von X zu A bekomme ich noch hin, aber ich weiß gerade nicht, wie ich den Abstand von dem Punkt X zur Geraden ausrechnen soll.
Irgendwie soll das mit der hessischen Normalenform funktionieren.Der Einheitsvektor n0 müsste ja dann vec(-3 4) * 1/sqrt(3² + 4²) sein.

http://upload.wikimedia.org/math/f/3/8/f3879f0b79b20faa7a1826d27075ad03ε.png

Laut Wikipedia ist

s = p * n0 - d

Was muss ich jetzt für p und d einsetzen damit ich auf den Abstand komme ?

Danke

Lusches

ich bin wieder ein stück weiter gekommen.
Abstand A->Gerade:

d = -3/5X1 + 4/5X2 - 37/5

Abstand zum Punkt A:
[code]d = sqrt( (x1-1)^2 + (x2+6)^2 )

Wie bekomme ich jetzt daraus die Parabel die ich mit der mittelsenkrechten schneiden kann ?

Wahrscheinlich muss ich jetzt nach X2 auflösen.
Das Problem ist jetzt, dass ich die Gleichung nicht nach X2 umstellen kann. Irgendwie klappt das nicht

volkard

ich hab ein bildchen gemalt und zwei kreismittelpunkte raus. einer bei ungefähr -6,25|-4,5 und den anderen bei ungefähr 7|2
um so eine doppellösung zu produzieren, nimmt die mathematik gewöhnlich eine quadratische gleichung. ich würde erwarten, daß ganz am ende eine quadratische gleichung von t steht und die beiden lösungen t1 und t2 in die geradengleichung eingesetzt ergeben die beiden mittelpunkte.

meine rechnung sah so aus:
//Jesters Weg

mittelpunkt zwischen A und B bestimmen
M=(A+B)/2
M=(-1|-2)

richtung von AB bestimmen
r=A-B
r=(4|-8) ?nee
r1=(1|-2)

lotrichting drauf bestimmen
r2=(2|1)

mittelsenkrechte bestimmen
mise: x=(-1|-2)+t(2|1)

jetzt im text nochmal gucken
abstand(x,A)=abstand(x,g)

abstand(x,A)=wurzel((x-A)*(x-A))

//g: x*(-3|4)-37=0
abstand(x,g)=(x*(-3|4)-37)/5
//5=|(-3|4)|
//http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/156479,0.html
//kannst hier auch ne nebenrechnung einstreuen und beliebig weit ausholen,
//um ne formel für abstand punkt-gerade herauszufinden

also
wurzel((x-A)(x-A))=(x(-3|4)-37)/5

(x-A)(x-A)=(x(-3|4)-37)^2/25

//mise: x=(-1|-2)+t(2|1)
(((-1|-2)+t(2|1))-A)(((-1|-2)+t(2|1))-A)=(((-1|-2)+t(2|1))(-3|4)-37)^2/25

//und nach ausrechnen
...
...
...

t^2-192t-1606=0

pq-formel und fertig.
uups, hab mich verrechnet. aber den weg halte ich für ganz in ordnung. nur kann ich vorzeichenfehler so toll machen, daß ich die leider kein ergebnis liefern kann.

edit: habs mal richtig gerechnet.
121*t^2-168*t-1264=0
damit wird
ungefähr -6,25|-4,5 und den anderen bei ungefähr 7|2
zu
-6,223140568|-4,611570284 und 7|2

jo, das ist mir genau genug, daß ich annehme, da ist kein rechenfehler mehr drin.

Danke für deine Mühe !
So ungefähr habe ich es ja auch versucht und wenn ich d = d setze kommt das hier raus :

d = -3/5X1 + 4/5X2 - 37/5	
d = sqrt( (x1-1)^2 + (x2+6)^2 )

d = d

-3/5X1 + 4/5X2 - 37/5 = sqrt( (x1-1)^2 + (x2+6)^2 )

Kann man das überhaupt nach X2 (Y-wert) auflösen oder ist das nicht möglich ?

volkard

Lusches667 schrieb:

Kann man das überhaupt nach X2 (Y-wert) auflösen oder ist das nicht möglich ?

das geht. ist aber aufwendig und fehlerangällig.

//brüche wegmachen
-beide seiten *5

//wirzel wehmachen
-beide seiten quadrieren

//pq-formel anstreben
-alle klammen ausmultiplizieren
-alles nach links bringen
-in grüppchen schreiben alle terme mit x2^2, alle mit nur x2, alle anderen
-in den grüppchen x2^2 bzw x2 ausklammern

sieht dann so ungefähr so häßlich aus.
-27*x2^2 + (-24x1+15)*x2 + (234*x1^2+212*x1-45) = 0
aber man kanns in die pq-formel stopfen.

ich komme jetzt auf folgende 2 gleichungen :

a) -1/2*(24/9x + 596/9) - sqrt((24/18x + 596/18)^2 - 16/9x^2 + 172/9x + 444/9)
b) -1/2(24/9*x + 596/9) + sqrt((24/18x + 596/18)^2 - 16/9x^2 + 172/9x + 444/9)

und diese müsste ich jetzt mit der Mittelsenkrechten gleichsetzen...

f(x) = 0,5x - 1,5

-1/2*(24/9*x + 596/9) - sqrt((24/18x + 596/18)^2 - 16/9x^2 + 172/9x + 444/9) = 0,5x - 1,5

Ist das soweit noch richtig ?