Einige Fragen zum Skalarprodukt

Ishildur

Hallo zusammen
Ich bin gerade dabei meine theoretischen Kenntnisse in der Linearen Algebra aufzufrischen und bin hierbei auf einige Ungereimtheiten gestossen.

1. In meinem Mathbuch steht, dass sich die Länge einer Projektion von Vektor v auf Vektor w mit folgender Formel berechnen lässt: |v| * cos(a) / |w|
Meiner Meinung nach sollte die Formel folgendermassen lauten: |v| * cos(a)

2. Ich habe eine Formel im Buch, mit deren Hilfe man festellen kann, ob 2 Vektoren annähernd dieselbe Richtung aufweisen:

Normiert: 1 - (vw)^2 = sin^2(a)
Nicht Normiert: |v|^2*|w|2 - (v*w)^2 = |v|^2*|w|2sin^2(a)

Wieso so kompliziert? Und warum immer alles noch im Quadrat? Also ich hatte folgende Formeln erarbeitet:

Normiert: 1 - (vw) = 0
Nicht Normiert: |v||w| - (v*w) = 0

3. Ich habe im Buch folgende Projektionsformel gefunden:
proj_w(v) = [(v*w)/(|w|^2)]*w
Damit bin ich einverstanden, allerdings sehe bereits ein paar Seiten weiter später im Zusammenhang mit der Gram-Schmidt Orthogonalisation folgende Formel:

w1 = v1-proj_w0(v1) = v1-[(v1*w0)/(|w0|)]*w0

Häää? Wieso braucht es hier das |w|^2 einfach plötzlich nicht mehr?
Ich hoffe, jemand kann mir das mal erklären, ich bin gerade sehr verunsichert...

Mfg Samuel

Ishildur schrieb:

1. In meinem Mathbuch steht, dass sich die Länge einer Projektion von Vektor v auf Vektor w mit folgender Formel berechnen lässt: |v| * cos(a) / |w|
Meiner Meinung nach sollte die Formel folgendermassen lauten: |v| * cos(a)

cos(a) * |v| * |w| = <v,w>
cos(a) * |v| / |w| = <v,w> / |w|^2
cos(a) * |v| / |w| = <v,w> / <w,w>

und <v,w> / <w,w> ist der Skalierungsfaktor in der orthogonalen Projektion von v auf w:

v_w = v - <v,w> / <w,w> * w

gibt übrigens eine nette Plausibilitätsbetrachtung dafür, daß v_w tatsächlich die orthogonale Projektion von v auf w ist:

<v_w,w> = <v,w> - <v,w> / <w,w> * <w,w> = <v,w> - <v,w> = 0

also ist v_w tatsächlich orthogonal auf w, und man sieht, wieso im Nenner von v_w das Skalarprodukt <w,w> ( = |w|^2) stehen muß: damit es sich herauskürzt, wenn man <v_w,w> bildet (s. Formelzeile oben).