Gleichung beweisen - Verallgemeinerter Durchschnitt

[Mathematikpraktikant]

Hallo,
es geht darum diese Gleichung zu beweisen:
Es sei I eine nichtleere Menge, und für jedes i ∊ I sein eine Menge M_i gegeben. J und K seien nichtleere Teilmengen von I. Dann gilt:
$\left ( \bigcap_{i \in J}M\_i \right ) \cap \left ( \bigcap\_{i \in K}M\_i \right ) = \bigcap\_{i \in J \cup K }M_i$
Der Latex-Bug ist wohl ein Dauerzustand, darum hier noch einmal ohne Latex-Tags:
\left ( \bigcap_{i \in J}M_i \right ) \cap \left ( \bigcap_{i \in K}M_i \right ) = \bigcap_{i \in J \cup K }M_i

Die linke Seite der Gleichung ist dieser Aussage äquivalent:
I.)
(Für alle i ∊ J gilt: x ∊ M_i) und (für alle i ∊ K gilt: x ∊ M_i)

Soweit kann ich das noch nachvollziehen, denn das ergibt sich ja direkt aus der Definition des verallgemeinerten Durchschnitts.
Aber jetzt kommt das, was ich nicht kapiere; die obige Aussage ist laut Skript äquivalent zu der folgenden:
II.)
Für alle i, i ∊ J oder i ∊ K, gilt: x ∊ M_i

Warum kann man da plötzlich ein oder schreiben`?
Von der Programmierung her kenne ich, das A && B != A || B ist, vermutlich liegt genau da mein Denkfehler.
Wer kann mir die Äquivalenz der Aussagen I.) und II.) verständlich machen?
Gruß,
M.

[Christoph]

Mathematikpraktikant schrieb:

Die linke Seite der Gleichung ist dieser Aussage äquivalent

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Menge und daher nicht äquivalent zu irgendeiner Aussage. Was du meinst ist, dass die Aussage "das Element x liegt in der Menge auf der linken Seite der Gleichung" äquivalent ist zu I).

Mathematikpraktikant schrieb:

Für alle i, i ∊ J oder i ∊ K, gilt: x ∊ M_i

"Für alle i \in J gilt F" ist eine Abkürzung für "Für alle i gilt (i \in J => F)". Diese Abkürzung würde ich hier auch auflösen, dann bekommst du:
Für alle i gilt: (i ∊ J oder i ∊ K => x ∊ Mi).
Das ist aber nur eine Umformulierung von
Für alle i gilt: (i ∊ J \cup K => x ∊ Mi).

IMHO ist "Für alle i ∊ J oder i ∊ K, gilt: x ∊ Mi" keine schöne und eindeutige Formulierung, weil i auf den ersten Blick zwei mal quantifiziert wird.

[Mathematikpraktikant]

Ah, ok danke. Jetzt, noch einmal von der Ferne betrachtet und mit deiner ausführlicheren Formulierung ist mir einiges klarer geworden.
Das 'für alle i' ist quasi ausgeklammert worden und dadurch entsteht sozusagen das 'oder'

Gruß,
M.