1. Goedelscher Unvollständigkeitssatz
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Interessuerter schrieb:
Was heißt denn hier "wahr" bezüglich eines Axiomensystems?
"wahr" heißt vereinfacht gesagt, daß die Aussage für alle Belegungen stimmt, es also sozusagen kein Gegenbeispiel gibt. "Beweisbar" heißt, daß es einen axiomatisch-deduktiven Beweis gibt.
Es gibt nach Gödel Aussagen, die nicht durch eine Belegung widerlegt werden können, und dennoch nicht beweisbar sind. Solange die Fermatsche Vermutung nicht bewiesen war, hätte man glauben können, diese wäre eine solche Behauptung, die für alle Belegungen wahr, aber nicht beweisbar ist. Inzwischen weiß man es besser.
Demzufolge ist der gewöhnliche Aussagenkalkül und mithin jeder Kalkül, der mindestens so aussagekräftig wie der gewöhnliche Aussagenkalkül (in welchem man die Gesetze der Arithmetik formulieren kann) ist, "unvollständig". Traurig, aber wahr (im beweisbaren Sinne :D).
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Eine Alternative waere natuerlich die Widerspruchsfreiheit aufzugeben um nichtbeweisbare Wahrheiten als Axiome mit aufzunehmen. Nicht sehr verlockend.
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knivil schrieb:
Eine Alternative waere natuerlich die Widerspruchsfreiheit aufzugeben um nichtbeweisbare Wahrheiten als Axiome mit aufzunehmen. Nicht sehr verlockend.
Eine nicht beweisbare Aussage kannst Du doch bequem als Axiom aufnehmen. Dadurch handelst Du Dir keine Widersprüche ein -- ein Widerspruch wäre ja nichts anderes als ein Widerspruchsbeweis für Deine Aussage. Die war ja aber nicht beweisbar.
Allerdings hilft Dir das auch nicht weiter. Schließlich verspricht Gödel Dir wieder ne neue Aussage, die wahr aber nicht beweisbar ist.
In Probleme mit der Widerspruchsfreiheit läufst Du erst, wenn Du versuchst alle nicht beweisbaren Wahrheiten auf einmal dazuzunehmen. Immer brav eine nach der anderen ist kein Problem.
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Jester schrieb:
In Probleme mit der Widerspruchsfreiheit läufst Du erst, wenn Du versuchst alle nicht beweisbaren Wahrheiten auf einmal dazuzunehmen. Immer brav eine nach der anderen ist kein Problem.
Soweit ich weiss, fuehrt z.B. die Koninuumshypothese als auch ihre Negation in ZFC nicht zu einem Widerspruch, was ist, wenn ich die beide brav nacheinander aufnehme?
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XFame schrieb:
Jester schrieb:
In Probleme mit der Widerspruchsfreiheit läufst Du erst, wenn Du versuchst alle nicht beweisbaren Wahrheiten auf einmal dazuzunehmen. Immer brav eine nach der anderen ist kein Problem.
Soweit ich weiss, fuehrt z.B. die Koninuumshypothese als auch ihr Negation in ZFC nicht zu einem Widerspruch, was ist, wenn ich die beide brav nacheinander aufnehme?
Dann machst du zwei Schritte ("Cont" sei die Kontinuums-Hypothese):
1. "ZFC" -> "ZFC mit Cont"
2. "ZFC mit Cont" -> "ZFC mit Cont und mit ~Cont".Schritt 1 ist dadurch gerechtfertigt, dass "Cont" unabhängig von "ZFC" ist.
Schritt 2 kannst du nicht rechtfertigen, weil "~Cont" nicht mehr unabhängig von "ZFC mit Cont" ist.
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Ah stimmt, danke.
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Vergesst mal die Vorausetzung "effektiv Axiomatisierbar" nicht. Sonst währe [; Th(\mathcal{N})
ein einfaches Gegenbeispiel zu Gödel's erstem Unvollständigkeitssatz.
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mazal schrieb:
"effektiv Axiomatisierbar"
[; Th(\mathcal{N})
Was heißt das?
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[; \mathcal{N}
== Standardmodell der Arithmetik.
[; Th(\mathcal{N}) == Theorie der Arithmetik.
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und "effektiv Axiomatisierbar" ?
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Axiome endlich + rekursiv aufzählbar.