Existenzaussagen fuer Beweise
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LogikProf84 schrieb:
na endlich schrieb:
In der mathematischen Logik gibt es nun einmal nur 2 mögliche Zustände: richtig und falsch.
Nur in der klassischen Logik. Die intuitinistische Logik kennt im Prinzip nur falsch und verschiedene wahre Zustände. Minimallogisch gibt es nur ableitbare Aussagen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Intuitionismus
Ok, der Achtungsindex steigt wieder. Haben ein lokales Minimum.
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u_ser-l schrieb:
können wir jetzt mal ein Beispiel für einen Beweis auf statistischer Basis sehen ??
Ok, der Onkel liest jetzt was vor aus:
Kryptographie | ISBN: 9783827419163
Dauert aber seine Zeit. Ihr wisst, ich bin Deutschlands schlechteste Tippse!
Arrgl ...Ich versuche besser morgen eine OCR SW zu installieren. Das dauert sonst ewig.
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Ersetze Auto durch ICE, Flugzeug, Ariane 5 oder Marssonde oder whatever. Meine Frage bleibt also bestehen: Welchen Wert haben diese Aussagen?
Da faellt mir "Sie belieben wohl zu scherzen, Mr. Feynman!" ein, letztes Kapitel oder so.
Wir erstellen Reliability-Zahlen um Aussagen zu machen, über ...
Und was hat das alles jetzt noch mit Beweisen tun?
PS: Achtungsindex? Soll wohl ne Art Anzeige sein, wie gut andere Meinungen mit deinem Weltbild uebereinstimmen?
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Die Diskussion schweift eindeutig ab. Wir sprechen hier von Beweisen als Ableitungen aus einem Axiomensystem und von nichts anderem.
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@XFrame:
Ich finde nicht, dass wir hier abschweifen.
Die göttliche Kelle bringt uns auf dem richtigen Weg:
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Prof84 schrieb:
XFame schrieb:
Prof84 schrieb:
XFame schrieb:
Gibt es eigentlich schon Versuche, lediglich Existenzaussagen fuer Beweise von Vermutungen zu machen, ohne den Beweis selbst zu fuehren?
D.h. ich muss nicht beweisen, dass es den Beweis gibt. Es genügt wenn ich sage, dass es eine 83% Wahrscheinlichkeit gibt, dass es den Beweis gibt.
Natuerlich musst du zeigen, dass es einen Beweis gibt. Das ist ja eben die Existenzaussage.
Man! Ich nicht!
@profi84: so wird das nix. ich zeig' dir jetzt mal, wie wir mathematische noobs beweise führen. also: stellt euch vor, ihr sagt jemandem, wie alt ihr seid. als direkten beweis legt ihr eure geburtsurkunde vor und alles ist klar. wenn ihr aber keine geburtsurkunde habt, weil die in der waschmaschine gelandet ist, dafür aber eine bescheinigung vom ordnungsamt/standesamt vorlegen könnt, dass ihr eine neue beantragt habt (also einen beweis für den beweis), auf der aber nicht euer geburtsdatum steht, dann könnt ihr euer alter nicht beweisen. das war soeben ein gegenbeweis für die annahme: 'der beweis der existenz eines beweises, beweise die sache selbst'.
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So ist das nicht ganz richtig.
Der Beweis besteht ja darin, dass du ihm die Geburtsurkunde zeigst. Damit beweist du dein Alter. Wenn du sagst, du hast eine Geburtsurkunde, beweist du damit, dass du ihm sie zeigen, sprich dein Alter beweisen kannst, also ist es doch ein Beweis.
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XFame schrieb:
So ist das nicht ganz richtig.
Der Beweis besteht ja darin, dass du ihm die Geburtsurkunde zeigst. Damit beweist du dein Alter. Wenn du sagst, du hast eine Geburtsurkunde, beweist du damit, dass du ihm sie zeigen, sprich dein Alter beweisen kannst, also ist es doch ein Beweis.hast recht, das war ein denkfehler. ein unterschied zu einem 'weltlichen' beweis und einem mathematischen beweis ist ja, dass mathematische beweise immer und für alle zeiten gültig sind und auch immer waren. aber ich sagte ja schon, dass ich mathe-noob bin.
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Ich habe im Moment Bildungsbedarf:
http://de.wikipedia.org/wiki/Modallogik
http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel
http://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Lorenzen
http://de.wikipedia.org/wiki/HilbertprogrammIch melde mich, wenn ich das verarbeitet (geschnallt) habe.
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dabei faellt mir was nettes ein, was ich mal gelesen hab.
wenn man zeigen koennte, dass die RH nicht ableitbar ist, so muss sie wahr sein, denn waere sie falsch, koennte man ein gegenbeispiel angeben.
huebsch, oder? jaja, ein bisschen ot.
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Hübsch... und falsch.
Vermutlich hast du diesen Unsinn aus der Musik der Primzahlen, zumindest steht es dort. Es gibt sehr wohl Aussagen, die nicht ableitbar sind, aber für die man kein Gegenbeispiel angeben kann (dann wäre die Aussage ja definitiv falsch, da widerlegt!); dass es derartige unabhängige Aussagen wirklich gibt, hat dereinst der liebe Gödel gezeigt.
Außerdem: wende die selbe Argumentation doch einmal auf die Negation der RH an!Mal als besonderes Beispiel eine sehr ähnliche Aussage, die nicht Nullstellen von Zeta sondern eines Polynoms betrifft; sonst ist sie gleich:
So gibt es ein ganzzahliges Polynom in endlich vielen Variablen, dass genau dann keine ganzzahlige Nullstelle hat, wenn das Auswahlaxiom wahr ist. Das Auswahlaxiom (AC) ist weder herleitbar, noch widerlegbar (außer ZF ist widersprüchlich, was wir hier mal ausschließen, da dann eh alles beweisbar wäre). Das AC ist also nicht ableitbar und wir können kein Gegenbeispiel angeben (sonst wäre es ja falsch!), somit ist, laut dem Vorposter, das AC also wahr; das wiederrum widerspricht der schon erwähnten Unabhängigkeit.
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ich verstehe nicht, was du mit anwenden auf die negation meinst. die negation ist eine existenzaussage. wenn man die nicht ableiten kann, so muss sie falsch sein, denn die wahrheit wuerde man ja durch einen zeugen belegen koennen.
du sagst "es gibt sehr wohl aussagen ...", kann schon sein, aber diese scheinbar nicht. ich verstehe jedenfalls den fehler in der argumentation noch nicht.
edit: ach ja, und wie lautet dieses polynom?
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PeterTheMaster schrieb:
du sagst "es gibt sehr wohl aussagen ...", kann schon sein, aber diese scheinbar nicht. ich verstehe jedenfalls den fehler in der argumentation noch nicht.
Ich kenne dieses konkrete Beispiel bzw. das Buch "Die Musik der Primzahlen" nicht, aber ich würde vermuten, dass das Problem beim Finden eines Gegenbeispiels für RH in der Struktur der reellen Zahlen verborgen liegt.
Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen, deswegen kann es passieren, dass zwar ein Gegenbeispiel existiert, man dieses aber nicht im Axiomensystem benennen kann.
Dein Trugschluss ist IMHO, dass man jeder reellen Zahl einen Namen geben kann; falls ein Gegenbeispiel existiert, muss man dieses also (zumindest theoretisch) im Axiomensystem benennen können. Das ist aber bei den reellen Zahlen nicht mehr garantiert.
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PeterTheMaster schrieb:
du sagst "es gibt sehr wohl aussagen ...", kann schon sein, aber diese scheinbar nicht.
Das von mir genannte Beispiel ist doch von deinem kaum verschieden, nur dass es nur abzählbar viele in Frage kommende einzusetzende Werte gibt und Polynome leichter auswertbar sind (das von mir genannte ist in diesem Sinne also sogar eine "einfachere Frage" als die RH). Ich wollte damit deine Argumentation durch ein Gegenbeispiel widerlegen: es gibt ja keinen Grund, besagte Argumentation nicht auch auf das AC-Polynom anzuwenden, aber trotzdem liefert sie dort unsinnige Ergebnisse.
Achja, das Polynom kann man explizit hinschreiben (es handelt sich also nicht nur um eine reine Existenzaussage), ich kenne es aber nicht (und erwarte, dass es ein Monstrum ist).@Christoph: die Überabzählbarkeit ist hierfür unwichtig, bereits abzählbar-unendlich viele zu testende Werte sind ein Problem.
Alternativ zu obigem Polynom kann man auch das Halteproblem sehen: wenn wir von einem Programm nicht beweisen können, dass es hält, dann können wir nicht unbedingt ein Gegenbeispiel angeben, noch können wir einfach davon ausgehen, es würde immer halten. Natürlich gibt es bei allen drei Aussagen, sofern sie falsch sind, ein Gegenbeispiel; aber das heißt nicht, das wir es finden müssen/können, um dies zu erkennen.
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Christoph schrieb:
Dein Trugschluss ist IMHO, dass man jeder reellen Zahl einen Namen geben kann; falls ein Gegenbeispiel existiert, muss man dieses also (zumindest theoretisch) im Axiomensystem benennen können. Das ist aber bei den reellen Zahlen nicht mehr garantiert.
Genau das ist der Punkt (zu dem man die Überabzählbarkeit garnicht braucht): Du kannst - SEHR vereinfacht ausgedrückt - mit Axiomen erster Stufe nur fordern, dass es bestimmte Sachen in sehr kleiner Zahl gibt (eventuell auch garnicht), oder beliebig viele davon. Das ist eine Konsequenz des Kompaktheitssatzes (http://de.wikipedia.org/wiki/Kompaktheitssatz).
Die Frage, die man sich bei der Riemannhypothese stellen muss, ist also eigentlich nicht, ob es keine Nullstelle gibt, sondern, ob es in allen Modellen keine Nullstelle gibt. (http://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory)
Und da kann es sein, dass du Modelle angeben kannst, in denen es welche gibt, und Modelle, in denen es keine gibt. Bei der Riemannhypothese sehe ich keinen Grund, warum das nicht der Fall sein könnte. Wenigstens ist obige Bemerkung kein Argument.
@PeterTheMaster: No offense, aber das ist ein Teilgebiet der Mathematik, das ziemlich viel Expertise braucht. Und Leute, die sich damit nicht auskennen, sehen öfters mal nicht die Probleme in scheinbar "klaren" Argumentationen. Das ist ganz normal. Also nicht wundern.