Studium: Stammfunktion: (cos x)^4
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Das macht doch aber keinen Sinn, hier von Konvergenz des Volumens gegen 0 zu sprechen. Das was un...endlich zitiert hat ist doch nur der Vorfaktor, es muss ja noch mit R^n multipliziert werden. Und diese Ergebnisse kann man dann nicht mehr vergleichen. Denn was ist mehr: Fünf Inch, tausend Liter oder ein Hektar?
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un....endlich schrieb:
pi^(n/2) / (n/2)! =circa (pi/e)^(n/2) * 2/n und das divergiert für n->unendlich
huch, das sollte natürlich
pi^(n/2) / (n/2)! =circa (pi/(n/2))^(n/2) -> 0
heißen...
stirling-formel ist schon kompliziert.interessant ist aber, dass das volumen des einheitsquaders immer 1 bleibt.
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SeppJ schrieb:
Das macht doch aber keinen Sinn, hier von Konvergenz des Volumens gegen 0 zu sprechen. Das was un...endlich zitiert hat ist doch nur der Vorfaktor, es muss ja noch mit R^n multipliziert werden.
Multiplikation mit R^n? Was soll das sein? Meinst Du sowas wie Volumenformen?
Und diese Ergebnisse kann man dann nicht mehr vergleichen. Denn was ist mehr: Fünf Inch, tausend Liter oder ein Hektar?
Ich sehe Dein Problem überhaupt nicht. Volumen im R^2 heißt Fläche, Volumen im R^3 ist das, was Otto-Normalverbraucher als Volumen bezeichnet und Volumen im R^d ist die konsequente Fortsetzung davon über Volumenformen (http://de.wikipedia.org/wiki/Volumenform). Der Folge der Einheitskugeln wird durch das Messen des Volumens eine Folge von Volumen zugeordnet (die Volumenform ist die Standard-Volumenform des R^n). Inwiefern ist es nun problematisch über die Konvergenz dieser Folge zu sprechen?
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er meint radius^n, für n=1 wird es z.B. in cm angegeben, für n=2 in cm^2 usw. Da wir hier aber in der Mathematik sind, ist uns sowas egal und uns interessiert nur der Koeffizient vor der Einheit. Und der verschwindet für n -> unendlich
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Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.
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SeppJ schrieb:
Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.
wir betrachten auch nur den anteil einer einheits-hyperkugel an einem einheits-hyperquader. in eine n-dimensionale kugel passt immer eine n-1-dimensionale.
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SeppJ schrieb:
Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.
Es wird dich erschrecken, aber (1/2)^n konvergiert gegen 0 für n->inf, obwohl Du alle Aussagen über (0.5 Meter)^n verwirfst.
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un...endlich schrieb:
[wir betrachten auch nur den anteil einer einheits-hyperkugel an einem einheits-hyperquader. in eine n-dimensionale kugel passt immer eine n-1-dimensionale.
Das ist ok, das ist sogar anschaulich einleuchtend. Aber die ursprüngliche Aussage konnte man so nicht stehen lassen:
Jester schrieb:
Man kann glaub ich sogar zeigen, daß das Volumen der Einheitskugel für Dimension n --> unendlich gegen 0 geht.
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SeppJ schrieb:
Das ist ok, das ist sogar anschaulich einleuchtend. Aber die ursprüngliche Aussage konnte man so nicht stehen lassen:
[...]Ja, das stimmt, mir ging es auch eigentlich nur um die Konvergenz der Koeffizienten $$$$, korrekterweise müsste man aber vom Grenzwert der Volumina der Kugeln im Vergleich zum Volumens des "Um-Würfel" sprechen, also $$$$
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Ich sehe überhaupt nicht, wo da das Problem liegt. Das ist eine Aussage über die Konvergenz einer Folge von Werten. Dafür braucht man zwar einen topologischen Raum, aber keine Ordnung. Die Werte müssen nicht paarweise miteinander vergleichbar sein.
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Jester schrieb:
Ich sehe überhaupt nicht, wo da das Problem liegt. Das ist eine Aussage über die Konvergenz einer Folge von Werten. Dafür braucht man zwar einen topologischen Raum, aber keine Ordnung. Die Werte müssen nicht paarweise miteinander vergleichbar sein.
Du brauchst für Konvergenz aber ein sinnvoll definierbares Epsilon, welches man zu den Werten der Folge addieren und subtrahieren kann. Dies ist bei der Folge von Volumina nicht gegeben, weil der Inhalt einer Kugel minus der Inhalt eines Kreises Schwachfug ist. Wenn man nur den Vorfaktor betrachtet geht das natürlich.
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So ein epsilon braucht man nur in (halb-)metrischen Räumen. Allerdings würde mich doch die Topologie, die Jester vorschwebt, mal interessieren.
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Also für mich ist $$\int_{B^n} 1 dV$$ ne reelle Zahl. Und damit kann ich mir auch die Folge über n anschauen und deren Konvergenz betrachten -- bezüglich welcher Topologie auch immer. Das sagt doch garnichts darüber aus, in welchem Verhältnis die Werte zueinander stehen und wie das zu interpretieren ist.
Die Folge 1,2,3,4,... verliert den Status einer Folge nicht dadurch, dass ich bei der 1 an einen Apfel, bei der 2 an Birnen und bei der 3 an Pflaumen denke.
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Woran man bei 1, 2, 3 denkt ist eigentlich egal, da es reelle Zahlen sind. Die sind untereinander vergleichbar, und die Konvergenz läuft wie gehabt über epsilon und n0.
Wenn man jetzt akzeptiert, dass die Einheiten bzw. Dimensionen berücksichtigt werden müssen, und die Folgenelemente untereinander nicht vergleichbar sein sollen, dann sind das auch keine reellen Zahlen mehr, sondern vielleicht Paare aus einer reellen Zahl und einem wie auch immer dargestellten Dimensionssymbol. Du sagst, das ist kein Problem, wenn man das ganze topologisch aufzieht. Nur wie?
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Ein Integral (mit Integrationsbereich) ist eine Abbildung, die integrierbare Funktionen auf dem Integrationsbereich auf reelle Zahlen abbildet. Also ist der oben angegebene Ausdruck eine reelle Zahl und ich darf ohne an was anderes denken zu müssen (gerne aber auch mit denken) eine Folge daraus bilden und deren Konvergenz betrachten.
Wem das zu unpräzise ist, der mag gerne auch Maßtheorie benutzen:
<a href= schrieb:
http://de.wikipedia.org/wiki/Maßtheorie">
Ein Maß μ ist eine Funktion, die jeder Menge S aus der σ-Algebra Σ in Ω einen Wert μ(S) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder unendlich.Nochmal: Ich habe nicht behauptet, dass ich irgendeine tolle Topologie aus dem Hut zaubere und damit irgendein merkwürdiges Objekt aus euren Köpfen zum konvergieren bringe. Ich behaupte im Gegenteil, dass wir überhaupt nicht über
merkwürdige Objekte reden, sondern über eine Folge von reellen Zahlen.Auf die Topologie habe ich nur hingewiesen, weil SeppJ anscheinend der Meinung war, man müsse die Werte einer Folge irgendwie in eine sinnvolle Relation zueinander setzen können -- etwa epsilons addieren und miteinander vergleichen.
