Mathe: Ideale von Z x Z
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Hallo,
Ich weiß dass die Ideale in Z von der gestalt mz sind.
Wie finde ich die Ideale in Z x Z.
Sind diese von der Gestalt mz x mz oder mz x nz ?
Wie beweise ich diese?
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ich würde mal sagen letzteres!
Beweis:
hm, ich glaub ich würd einfach "klar(!)" hinschreiben.
Aber gut.
Daß jedes von der Form nZ x mZ ein Ideal ist ist klar.
Und für die Andere Richtung betrachtest Du den Homomorphmismus
Phi: Z x Z --> Z, (a,b) |--> a.
Das Bild eines Ideals ist wieder ein Ideal (notfalls schnell nachrechnen).
Also muß die erste Komponente des Ideals von der gewünschten Form sein. Durch vertauschen der beiden Argumente folgt die Behauptung.MfG Jester
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Das Bild eines Ideals ist wieder ein Ideal (notfalls schnell nachrechnen).
Daran scheitert es!
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Okay, Ideale müssen zunächst mal Untergruppen sein. Jeder Ring ist ja insbesondere Gruppe und jeder Ringhomomorphismus ist insbesondere ein Gruppenhomomorphimus. Bilder von Untergruppen sind wieder Untergruppen.
Also müssen wir nur noch die Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation nachweisen. Wenn ich's mir recht überlege scheint das nur für surjektive Ringhomomorphismen zu funktionierten (Findet jemand ein Gegenbeispiel für nicht surjektive oder einen Beweis ohne Benutzung der Surjektivität?). Aber zum Glück ist unser obiger Homomorphismus ja surjektiv.
Sei also R Ring, I ein Ideal in R und Phi ein Homomorphimus von R nach R' (R' ebenfalls Ring).
Zu zeigen: a € Phi(I) => r'*a € Phi(I) für alle r' € R'
a€Phi(I) => es ex. x € I: Phi(x) = a. Sei nun r' € R' bel. => wegen Phi surjektiv: es ex. r € R: Phi(r) = r'.
Dann ist aber auch r*x € I, da I Ideal. und es ist Phi(r*x) = Phi(r) * Phi(x) = r'*a ist damit in Phi(I).
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Jo, hab inzwischen auch ein Gegenbeispiel gefunden:
Die Injektion von Z nach Q (als Ring aufgefaßt) ist ein Homomorphismus. Die Ideale in Z sind aber keine Ideale in Q, da Q Körper ist und daher nur die trivialen Ideale besitzt.
MfG Jester
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1000 dank Jester!
Ps. Bist du ein Mathe - Prof ?
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Original erstellt von <Thobias>:
Bist du ein Mathe - Prof ?*g* nein! Ein ganz gewöhnlicher Student.
Hab mich halt schon ne Weile mit dem Stoff beschäftigt.
Was studierst Du und wo, wenn ich fragen darf?
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Ein ganz gewöhnlicher Student.
Gewöhnliche Stundenten haben nicht so viel Ahnung wie du.
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Ich studiere in Osnabrueck 1.Semester Mathematik/Informatik. Zur Zeit habe ich
Einführung in die Algebra, Analysis 1, Informatik (Algorithmen) und Einführung in die Experimentalphysik. (Hab mich möglicherweise nen bischen übernommen und daher zu wenig Zeit)
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Ach was, das ist doch Unsinn. Allein bei mir im Semester sind einige die wesentlich mehr drauf haben als ich.
Es ist halt nur so, daß das Rechnen in Gruppen und Ringen sehr gewöhnungsbedürftig ist. Fast alles kommt einem zu Beginn wie Hexenwerk vor und jede Rechnung sieht wie ein Beweis aus. Aber das gibt sich mit der Zeit und dann kann man damit einfach rechnen. Wart's ab, ein paar Wochen reinknien und die Sache läuft. Spätestens bei der Klausurvorbereitung kriegt man's raus.
MfG Jester
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Das mit dem Hexenwerk trift den Nagel auf den Kopf!
Aber Deine Aussage hat mir auch wieder etwas Mut gemacht.
Möglicherweise klappts doch bald!