Mathe (Hauptidealringe)

Ich brauche eine Idde(oder etwas mehr Hilfe) um Folgendes zeigen zu können.
Denn ich finde diese Aufgabe schon echt krass!

Sei p eine Primzahl : Z[i/p] = { r/(p hoch k) : r Element Z, k Element N )

zu zeigen z [i/p] ist ein hauptidealring.

Ps. Ihr braucht nur bis einschließlich 4.6.2003 23.30 Uhr antworten.
Wenns geht einfache und leicht verständliche Antworten . Danke!

Jester

ups das war Mist.
meld mich gleich nochmal

[ Dieser Beitrag wurde am 04.06.2003 um 22:04 Uhr von Jester editiert. ]

du hast nur noch 1 stunde und 25 minuten

Jester

okay, hab ne Idee:

Wenn ich mir das mal so anschaue, dann sind die Ideale in diesem Ring, wenn sie von einem Element erzeugt werden sogar von einem Element in Z erzeugt.

Denn ist r/(p^k) ein Erzeuger, dann ist auch r ein Erzeuger, da p^k eine Einheit ist. Und aus r kann man ja alle p Potenzen noch rausdividieren, dann ist es immer noch ein Erzeuger.
Und dieses Teil erzeugt dann auch ein Ideal in Z. Meine Vermutung ist jetzt, daß sich Ideale in Z und Z[i/p] entsprechen.

Jester

ne andere Überlegung wäre es wie bei der Bestimmung aller Untergruppen in Z vorzugehen:

G <= Z[i/p] als Untergruppe.

=> Es ex. ein min. r€N: r/(p^k) € G
=> r € G wie oben
Sei nun q/(p^k') aus G bel. => q€G, wie oben.

Division mit Rest liefert: q = sr+d mit s,d € Z, 0<=d<r
d€Z, da q - sr = d beide in G, da aber r minimal € G => d = 0
Also ist q = s*r

und es ist (r/p^k)*(s/p(k'-k)) = q/(p^k') also ist es Vielfaches.
=> r/p^k erzeugt.

Das einzige was mich jetzt etwas stutzig macht, ist daß ich nirgends explizit gebraucht hab, daß p prim ist. Findet jemand nen Fehler?
Oder hab ich's irgendwo benutzt, ohne es zu benutzen?
Ansonsten hoffe ich, das hilft ein bißchen.

MfG Jester

1000 Dank!