Kugelabschnitts-Volumen nach der Scheibenmethode

Borschtsch

Hi,

ich frage mich, wieso die allgemeine Formel für das Kugelabschnitts-Volumen den Faktor 1/3 und nicht 1/n hat, wenn n für die Anzahl der Scheiben steht. Diese Formel lautet bekanntlich:

V[t]KAbschn[/t] = 1/3 * [e]pi[/e] * h²(3r - h)

r ist der Radius des Großkreises
h ist die Höhe des Abschnitts

Annäherung mit Scheiben
Wenn man drei Scheiben nimmt (n=3), dann kommt man auf:

V[t]3[/t] = 1/[u]3[/u] * [e]pi[/e] * h²(4r - 1,55h)

Mit n=6 (entnehme ich aus der Quelle):

V[t]6[/t] = 1/[u]3[/u] * [e]pi[/e] * h²(3,5 r - 1,26h)

Wieso heißt es hier bei n=6 "wieder" 1/3 und nicht eben 1/6? Davor hat man es komischerweise als h/n definiert. Ich blicke hier also irgendwie nicht durch.

Dann lässt es sich beweisen, dass die Faktoren vor r (die 3) und h (die 1) mit wachsendem n den Grenzwert zwischen den äußeren und inneren Scheiben darstellen. Ohne Analysis kann man da aber kaum mit dem Beweisen anfangen, oder?

Gruß

such mal mit dem großen G nach

volumen-kugelabschnitt-analysis

1. Treffer, dort erklärt jemand die Herleitung.

Borschtsch schrieb:

Hi,

ich frage mich, wieso die allgemeine Formel für das Kugelabschnitts-Volumen den Faktor 1/3 und nicht 1/n hat, wenn n für die Anzahl der Scheiben steht. Diese Formel lautet bekanntlich:
V[t]KAbschn[/t] = 1/3 * [e]pi[/e] * h²(3r - h)

r ist der Radius des Großkreises
h ist die Höhe des Abschnitts

In dieser Formel steht kein 'n', also warum sollte der Faktor 1/n auftauchen?

Borschtsch schrieb:

Annäherung mit Scheiben
Wenn man drei Scheiben nimmt (n=3), dann kommt man auf:
V[t]3[/t] = 1/[u]3[/u] * [e]pi[/e] * h²(4r - 2,55h)

Sicher? ich hätte eher auf

V[t]3[/t] = 1/[u]3[/u] * [e]pi[/e] * h²(4r - 1,55h)

getippt!

Borschtsch schrieb:

Mit n=6 (entnehme ich aus der Quelle):

Die Nennung eben dieser Quelle wäre hilfreich gewesen

Borschtsch schrieb:

V[t]6[/t] = 1/[u]3[/u] * [e]pi[/e] * h²(3,5 r - 1,26h)
Wieso heißt es hier bei n=6 "wieder" 1/3 und nicht eben 1/6? Davor hat man es komischerweise als h/n definiert. Ich blicke hier also irgendwie nicht durch.

Weil die Näherungsformel, mit der das Volumen des Kugelabschnitts durch die Summe einzelner Scheibenvolumina abgeschätzt ist, etwa so lauten müsste:

V_scheiben( n ) = 1/3 * [e]pi[/e] * h²( 3*r*(n+1)/n - h * (2n² + 3n + 1)/(2n²) )

Und wenn man hier n=irgendwas einsetzt, so verschwindet das n natürlich.

Borschtsch

Danke schonmal für die Antworten. Das mit 2,55 war ein Tippfehler.

Die-Kugel schrieb:

Borschtsch schrieb:
[...]
V[t]KAbschn[/t] = 1/3 * [e]pi[/e] * h²(3r - h)

r ist der Radius des Großkreises
h ist die Höhe des Abschnitts
In dieser Formel steht kein 'n', also warum sollte der Faktor 1/n auftauchen?

Hier nicht, nein. Das ist noch die allgemeine Formel, die ich zur Sicherheit aufschreiben wollte.

Die-Kugel schrieb:

Borschtsch schrieb:

Mit n=6 (entnehme ich aus der Quelle):

Die Nennung eben dieser Quelle wäre hilfreich gewesen

Geht leider schlecht, habe ich nur in schriftlicher Form vorliegen.

Ich werde es mir heute noch genauer ansehen, komme momentan noch nicht dazu.

Gruß