Vektorräume und Körper und ...

ich hab zwar eigentlich nur ingenieurmathematik aber das ist mir einfach zu wenig darum versuche ich im moment lineare algebra durchzuarbeiten und schon hab ich den ersten hänger...

was kann ich unter K x V verstehen?

V ist hier einVektorraum über K.

und nochwas:

{x+y | x in V, y in V}

bedeutet das die Menge aller Summen aller in V enthaltener Vektoren?
ist das dann nicht eigentlich nur ganz V?

und das letzte:

u sei ein Untervektorraum von V
die Frage: kann V\U noch einen Vektorraum bilden?

meine ANsicht: zu jedem Vektorraum muss der Nullvektor gehören...
da {0} in V und U sein müsste kann V\U keinen Vektorraum mehr bilden

Ben04

shisha schrieb:

{x+y | x in V, y in V}

bedeutet das die Menge aller Summen aller in V enthaltener Vektoren?
ist das dann nicht eigentlich nur ganz V?

Ja, ist so definiert
Ja, da Vektorräume additiv abgeschlossen sind (Axiom)

shisha schrieb:

u sei ein Untervektorraum von V
die Frage: kann V\U noch einen Vektorraum bilden?

meine ANsicht: zu jedem Vektorraum muss der Nullvektor gehören...
da {0} in V und U sein müsste kann V\U keinen Vektorraum mehr bilden

Nein, das kann kein Vektorraum mehr sein. Deine Begründung ist korrekt. Die 0 ist in jedem Vektorraum enthalten.

was kann ich unter K x V verstehen?

Da bin ich mir jetzt nicht ganz sicher was du wissen willst. K x V = {(k, v), k aus K und v aus V} also eine Menge von Tupeln.

Wenn V isomorph K^n dann K x V isomorph K^(n+1) also man baut eigentlich eine weitere Dimension an den Vektorraum dran.

pasti

Ben04 schrieb:

Wenn V isomorph K^n dann K x V isomorph K^(n+1) also man baut eigentlich eine weitere Dimension an den Vektorraum dran.

Genau. Und jeder endlichdimesionale Vektoraum mit Dimension n ueber K ist isomorph zu K^n.

Als Isomorphie (gr. ισως isōs „gleich“ und μορφη morphē „Form“, „Gestalt“) bezeichnet man
in der evolutionären Erkenntnistheorie: die Entsprechung von Erkenntnisapparat und intersubjektiver Realität, siehe Passungscharakter und Partielle Isomorphie;
in der Psychophysiologie: die Entsprechung eines Bewusstseinszustandes mit einem physischen Prozess, siehe Isomorphie (Psychophysiologie);
in der Kristallographie: Kristalle mit gleichen molekularen Strukturen, siehe Isomorphie (Kristall);
in der Mathematik: eine bestimmte Form der Abbildung, siehe Isomorphismus;
in der Botanik: eine Form des Generationswechsels;
in der Soziologie: Prozess der strukturellen Annäherung von Organisationen z. B. aufgrund von bürokratischen Zwängen
in der Linguistik: strukturelle Gleichheit der Wortbildungselemente

und was heißt das mathematisch?
wie gesagt ich fange grad erst an das buch durchzuarbeiten

Ben04

U und V sind isomorph wenn es mind. eine strukturübertragende Funktion genannt Isomorphismus gibt. Es ist egal ob du auf den Bildern oder auf den Urbildern rechnest, es ist das selbe. Du kannst es dir U und V als zwei verschiedene Darstellungen der selben "Sache" vorstellen.

Beispiel: |R und i|R sind isomorph mit f(x) = i*x und g(x) = -i*x als (Körper-)Isomorphismen.