Totales Differential

SideWinder

Fach: Mathematik für Informatik

MfG SideWinder

Mal aus der Hüfte geschossen müsste doch gelten

[e]part[/e] ( x² - y )   [e]part[/e] ( x² - y )
y'' = --( ------ ) + --( ------ ) * y'
      [e]part[/e]x( x - y² )   [e]part[/e]y( x - y² )

Meinst du sowas? Mit impliziten Funktionen hat aber das nix zu tun.

SideWinder

Okay, dann also doch das gesamte Beispiel:

F(x,y) = x³ - 3xy + y³ - 1 = 0
y' und y'' im Punkt (1, -sqrt(3))

Das sah mir nach implizit gegebener Funktion aus, habe versucht den Hauptsatz über implizite Funktionen anzuwenden:

(1) Polynomfunktion -> immer stetig diffbar
(2) F(xo, yo) = 0 -> okay
(3) Fy(xo, yo) != 0 -> okay

Also ist die erste Ableitung:

x² - y
y' = - (Fx / Fy) = ------ 
                   x - y²

Jetzt suche ich dazu die zweite Ableitung, nur habe ich nun keine implizite Form mehr gegeben. Da steht ja nirgends mehr ein Term mit = 0. Also muss es einen anderen Weg geben.

@Mups: Wie kommt man auf diese Formel? Warum Fx + Fy * y'? Ich gehe davon aus, dass du folgendes annimmst:

y'' = (y' = f(x, y(x)))' = Fx + Fy * y' (Einsatz der Kettenregel?!)

Aber warum ist überhaupt = Fx + Fy? Gilt das generell, dass die Ableitung in mehreren Variablen die Summe der partiellen Ableitungen ist?

MfG SideWinder

Ben04

SideWinder schrieb:

Okay, dann also doch das gesamte Beispiel:
F(x,y) = x³ - 3xy + y³ - 1 = 0
y' und y'' im Punkt (1, -sqrt(3))

Und die Frage?

Die Ableitung berechnet sich sehr leicht:

F': R^2 -> R^2
F'(x, y) = (F(x, y)/dx, F(x, y)/dy)

F'': R^2 -> R^2x2

F''(x, y) = (F(x, y)/dx^2, F(x, y)/dy/dx)
            (F(x, y)/dy/dx, F(x, y)/dy^2)

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass es das ist was du wissen willst.

es gilt allgemein

F(x(t), y(t))

dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt

das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'

SideWinder

f3fd9b40-2de8-11de-8c30-0 schrieb:

es gilt allgemein
F(x(t), y(t))
dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt
das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'

Das bringt mich aber nur weiter, wenn x und y voneinander abhängig sind und ich eigentlich ohnehin nur eine Funktion in einer Variablen vor mir habe?!

Ben04 schrieb:

Und die Frage?

Frage: Zweite Zeile "Man berechne..." gehört noch davor

Aber wie bringe ich diese Matrix (Jacobi-Matrix) auf die Form y''= ?

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

f3fd9b40-2de8-11de-8c30-0 schrieb:
es gilt allgemein
F(x(t), y(t))
dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt
das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'
Das bringt mich aber nur weiter, wenn x und y voneinander abhängig sind und ich eigentlich ohnehin nur eine Funktion in einer Variablen vor mir habe?!

Hast du doch. x ist unabhängig und y hängt (implizit, dazu ist ja der SvdiF da) von x ab.

SideWinder

Gut, und wie wäre es nun wenn das nicht der Fall wäre. Wenn also x und y unabhängig wären. Wie komme ich dann auf y'' (bzw. schlecht ausgedrückt, besser: f(x,y)'' = ?)

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

Gut, und wie wäre es nun wenn das nicht der Fall wäre. Wenn also x und y unabhängig wären. Wie komme ich dann auf y'' (bzw. schlecht ausgedrückt, besser: f(x,y)'' = ?)

MfG SideWinder

so, wie Ben04 gesagt hat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hesse_matrix

anders ausgedrückt: genau so wie die erste (mehrdimensionale) ableitung die beste lineare approximation an eine funktion in einem bestimmten punkt ist, ist die hesse-matrix die quadratische form die, zusammen mit der ersten ableitung, die funktion am besten quadratisch approximiert.

SideWinder

Okay, aber das heißt etwas direkt analoges zum "normalen" Differenzieren, ala:

f(x) = y = x²
y' = 2x

in zwei Variablen:

f(x,y) = z = x² + y²
z' = ???

gibt es gar nicht. z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

Edit: Der einzige Grund - was mich von Anfang an ja so sehr verwirrt hat - dass bei diesem Beispiel ein y''= rauskommt, ist das y abhängig von x ist und eigentlich eine Funktion in einer Variablen vorliegt?!

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

Okay, aber das heißt etwas direkt analoges zum "normalen" Differenzieren, ala:
f(x) = y = x²
y' = 2x
in zwei Variablen:
f(x,y) = z = x² + y²
z' = ???
gibt es gar nicht. z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

genau. du kannst höchstens, wie es physiker gerne machen, sowas schreiben

dz = 2 x dx + 2 y dy

was im prinzip dasselbe wie die jakobi-matrix ist.

Edit: Der einzige Grund - was mich von Anfang an ja so sehr verwirrt hat - dass bei diesem Beispiel ein y''= rauskommt, ist das y abhängig von x ist und eigentlich eine Funktion in einer Variablen vorliegt?!

MfG SideWinder

genau. (x,y) spannt einen 2-dimensionalen raum auf, und die bedingung F(x,y) = 0 nimmt eine dimension weg, also bleibt ein eindimensionales ding übrig.

Du kannst zum beispiel betrachten

F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 =(!) 0

und
die zweite ableitung von x im punkt (1,0,0) berechnen, die hängt dann auch von zwei variablen ab.

Ben04

Die Ableitung einer R^2 -> R Funktion an einer bestimmten Position ist eine R^1x2 Matrix (oder eher die dazugehörige lineare Abbildung, aber das ist jetzt Haarspalterei). Die Ableitungsfunktion F' bildet eine Position auf die dazugehörige Matrix ab. Also ist eine Funktion R^2->R1x2.

SideWinder schrieb:

z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

ja

PS: Gewöhne dir lieber die F' und F'' Schreibweise an. So wie das im ersten Post steht, ist das eine partielle Differenzialgleichung. Das verwirrt deine Leser stark.

Aber gibt es keine Form von der Hesse-Matrix direkt auf eine Gleichung ala y''= zu kommen? Das müsste doch möglich sein, oder?