Totales Differential

SideWinder

Wie kann ich das totale Differential berechnen? Wir hatten dazu komischerweise kein einziges Beispiel Jetzt bei der Übung ist folgendes Beispiel zu lösen: Die zweite Ableitung folgender Funktion zu berechnen:

x² - y
y' = ------
     x - y²

Wie gehe ich das an? Ich habs nur geschafft die beiden partiellen Ableitungen zu bilden...

MfG SideWinder

SideWinder

Mal sehen ob ich überhaupt die Theorie richtig rekapitulieren kann:

f in einer Variablen -> "normale" Ableitung nach dieser Variablen ergibt die totale Ableitung

f in zwei Variablen -> "normale" Ableitung nach einer der Variablen ergibt die jeweilige partielle Ableitung

Diese partiellen Ableitungen in der Jacobi-Matrix zusammengefasst ergibt die totale Ableitung.

Diese kann ich aber nicht auf eine Gleichung der Form y' = <Term> rückführen?!

Die einzige Chance die ich habe, ist wenn alle dieser Variablen (wie öfters in den Naturwissenschaften der Fall) von einer Variablen abhängen, dass ich die Kettenregel anwende und die Summe aller Terme der Form partiell nach x * x' + partiell nach y * y' + usw. bilde.

Eine letzte andere Chance ist über den Hauptsatz über implizite Funktionen (mit dem ich bspw. oben überhaupt erst von f(x,y) = <Term> auf das y' = gekommen bin. Die Frage ist trotzdem, wie komme ich weiter auf y'' ? Ich sehe keine wirklichen Möglichkeiten für mich

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

Die zweite Ableitung folgender Funktion zu berechnen:
x² - y
y' = ------
     x - y²

ist das eine unabhängige funktion y'(x,y) oder die erste ableitung von y nach x? und welches fach ist das?

SideWinder

Es ist die erste Ableitung. Ich denke die Lösung geht wieder mit Hilfe des Hauptsatzes über implizite Funktionen.

Ich würde aber gerne mal eine Ableitung ohne irgendwelche "Tricks" dieser Art durchführen. Was wäre wenn sie unabhängig wären?

MfG SideWinder

SideWinder

Fach: Mathematik für Informatik

MfG SideWinder

Mal aus der Hüfte geschossen müsste doch gelten

[e]part[/e] ( x² - y )   [e]part[/e] ( x² - y )
y'' = --( ------ ) + --( ------ ) * y'
      [e]part[/e]x( x - y² )   [e]part[/e]y( x - y² )

Meinst du sowas? Mit impliziten Funktionen hat aber das nix zu tun.

SideWinder

Okay, dann also doch das gesamte Beispiel:

F(x,y) = x³ - 3xy + y³ - 1 = 0
y' und y'' im Punkt (1, -sqrt(3))

Das sah mir nach implizit gegebener Funktion aus, habe versucht den Hauptsatz über implizite Funktionen anzuwenden:

(1) Polynomfunktion -> immer stetig diffbar
(2) F(xo, yo) = 0 -> okay
(3) Fy(xo, yo) != 0 -> okay

Also ist die erste Ableitung:

x² - y
y' = - (Fx / Fy) = ------ 
                   x - y²

Jetzt suche ich dazu die zweite Ableitung, nur habe ich nun keine implizite Form mehr gegeben. Da steht ja nirgends mehr ein Term mit = 0. Also muss es einen anderen Weg geben.

@Mups: Wie kommt man auf diese Formel? Warum Fx + Fy * y'? Ich gehe davon aus, dass du folgendes annimmst:

y'' = (y' = f(x, y(x)))' = Fx + Fy * y' (Einsatz der Kettenregel?!)

Aber warum ist überhaupt = Fx + Fy? Gilt das generell, dass die Ableitung in mehreren Variablen die Summe der partiellen Ableitungen ist?

MfG SideWinder

Ben04

SideWinder schrieb:

Okay, dann also doch das gesamte Beispiel:
F(x,y) = x³ - 3xy + y³ - 1 = 0
y' und y'' im Punkt (1, -sqrt(3))

Und die Frage?

Die Ableitung berechnet sich sehr leicht:

F': R^2 -> R^2
F'(x, y) = (F(x, y)/dx, F(x, y)/dy)

F'': R^2 -> R^2x2

F''(x, y) = (F(x, y)/dx^2, F(x, y)/dy/dx)
            (F(x, y)/dy/dx, F(x, y)/dy^2)

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass es das ist was du wissen willst.

es gilt allgemein

F(x(t), y(t))

dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt

das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'

SideWinder

f3fd9b40-2de8-11de-8c30-0 schrieb:

es gilt allgemein
F(x(t), y(t))
dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt
das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'

Das bringt mich aber nur weiter, wenn x und y voneinander abhängig sind und ich eigentlich ohnehin nur eine Funktion in einer Variablen vor mir habe?!

Ben04 schrieb:

Und die Frage?

Frage: Zweite Zeile "Man berechne..." gehört noch davor

Aber wie bringe ich diese Matrix (Jacobi-Matrix) auf die Form y''= ?

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

f3fd9b40-2de8-11de-8c30-0 schrieb:
es gilt allgemein
F(x(t), y(t))
dF/dt = dF/dx dx/dt + dF/dy dy/dt
das ist die Kettenregel. Jetzt musst du nur y'' = (y')'
Das bringt mich aber nur weiter, wenn x und y voneinander abhängig sind und ich eigentlich ohnehin nur eine Funktion in einer Variablen vor mir habe?!

Hast du doch. x ist unabhängig und y hängt (implizit, dazu ist ja der SvdiF da) von x ab.

SideWinder

Gut, und wie wäre es nun wenn das nicht der Fall wäre. Wenn also x und y unabhängig wären. Wie komme ich dann auf y'' (bzw. schlecht ausgedrückt, besser: f(x,y)'' = ?)

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

Gut, und wie wäre es nun wenn das nicht der Fall wäre. Wenn also x und y unabhängig wären. Wie komme ich dann auf y'' (bzw. schlecht ausgedrückt, besser: f(x,y)'' = ?)

MfG SideWinder

so, wie Ben04 gesagt hat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hesse_matrix

anders ausgedrückt: genau so wie die erste (mehrdimensionale) ableitung die beste lineare approximation an eine funktion in einem bestimmten punkt ist, ist die hesse-matrix die quadratische form die, zusammen mit der ersten ableitung, die funktion am besten quadratisch approximiert.

SideWinder

Okay, aber das heißt etwas direkt analoges zum "normalen" Differenzieren, ala:

f(x) = y = x²
y' = 2x

in zwei Variablen:

f(x,y) = z = x² + y²
z' = ???

gibt es gar nicht. z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

Edit: Der einzige Grund - was mich von Anfang an ja so sehr verwirrt hat - dass bei diesem Beispiel ein y''= rauskommt, ist das y abhängig von x ist und eigentlich eine Funktion in einer Variablen vorliegt?!

MfG SideWinder

SideWinder schrieb:

Okay, aber das heißt etwas direkt analoges zum "normalen" Differenzieren, ala:
f(x) = y = x²
y' = 2x
in zwei Variablen:
f(x,y) = z = x² + y²
z' = ???
gibt es gar nicht. z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

genau. du kannst höchstens, wie es physiker gerne machen, sowas schreiben

dz = 2 x dx + 2 y dy

was im prinzip dasselbe wie die jakobi-matrix ist.

Edit: Der einzige Grund - was mich von Anfang an ja so sehr verwirrt hat - dass bei diesem Beispiel ein y''= rauskommt, ist das y abhängig von x ist und eigentlich eine Funktion in einer Variablen vorliegt?!

MfG SideWinder

genau. (x,y) spannt einen 2-dimensionalen raum auf, und die bedingung F(x,y) = 0 nimmt eine dimension weg, also bleibt ein eindimensionales ding übrig.

Du kannst zum beispiel betrachten

F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 =(!) 0

und
die zweite ableitung von x im punkt (1,0,0) berechnen, die hängt dann auch von zwei variablen ab.

Ben04

Die Ableitung einer R^2 -> R Funktion an einer bestimmten Position ist eine R^1x2 Matrix (oder eher die dazugehörige lineare Abbildung, aber das ist jetzt Haarspalterei). Die Ableitungsfunktion F' bildet eine Position auf die dazugehörige Matrix ab. Also ist eine Funktion R^2->R1x2.

SideWinder schrieb:

z' besteht dann aus zwei Komponenten, die eine ist zx und die andere zy?

ja

PS: Gewöhne dir lieber die F' und F'' Schreibweise an. So wie das im ersten Post steht, ist das eine partielle Differenzialgleichung. Das verwirrt deine Leser stark.

Aber gibt es keine Form von der Hesse-Matrix direkt auf eine Gleichung ala y''= zu kommen? Das müsste doch möglich sein, oder?