grenzmatrix - berechnen und formal aufschreiben

Mr. B

tach!

man nehme eine einfache matrix. sagen wir mal 2x2 matrix.

WICHTIG: wie schreib ich das formal richtig auf, also mit dem lim z.b.?

nebenbei: wie berechnet man die eigtl. genau?

zur person: mathe lk nrw, übermorgen abitur. ich hab eigtl. alle themen durch - bin kein spätlerner - mir is das grad nur aufgefallen!
mein mathelehrer hat uns das eigtl. nie richtig beigebracht, es könnte dennoch in der klausur drankommen, glaube ich.
bisher hab ich die immer nur so berechnet, dass ich (oder der taschenrechner) die n paar mal mit sich selbst multipliziert habe. aber das kanns ja eigtl. auch nicht sein fürn mathematiker. deswegen:

wäre schön, wenn mir einer die fragen beantworten könnte. erstere (in latex wär gut) ist wichtiger, weil die korrekteure ja immer so aufs formale achten. zweitere nur halbwegs einfach erklärt. also klar, schon mathe lk niveau, aber bitte nicht universitätsniveau - davon versteh ich nur bahnhof

Grüße,
Mr. B

um vom Limes A = lim_{n -> oo} A_n einer Folge von Matrizen {A_n} zu reden, mußt Du zunächst mal eine Norm ||.|| für Matrizen auswählen und festlegen, da gibt es natürlich mehrere zur Auswahl, z.B. Zeilensummennorm, Quadratnorm usw.

Formal schreibt man A = lim_{n -> oo} A_n, wenn || A - A_n || -> 0 für n -> oo.

übrigens kann man zu jeder gegebenen Vektornorm |.| eine Matrizennorm ||.|| definieren, nämlich:
||A|| = sup |A*x| / |x|, wobei sup über alle Vektoren x != 0 läuft.

Ben04

u_ser-l schrieb:

um vom Limes A = lim_{n -> oo} A_n einer Folge von Matrizen {A_n} zu reden, mußt Du zunächst mal eine Norm ||.|| für Matrizen auswählen und festlegen, da gibt es natürlich mehrere zur Auswahl, z.B. Zeilensummennorm, Quadratnorm usw.

Und da das ganze vektorraumisomorph zum R^n ist, braucht er keine Norm auszuwählen, da alle Normen äquivalent sind.

Um den Limes zu berechnen würde ich versuchen A_n explizit anzugeben und dann Komponentenweise den Limes bilden. Wenn das nicht geht, dann wird es IMO sehr schwer den Grenzwert zu berechnen.

Bashar

Mal ein paar unsortierte Gedanken dazu... Es sei also A eine nxn-Matrix, so dass das unendliche Produkt (analog einer Reihe definiert) von A mit sich selbst existiert, diese Grenzmatrix sei mit G bezeichnet.
Dann muss ja AG = G gelten, also insbesondere für jeden Vektor v AGv = Gv, d.h.: Gv ist Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Dass ein Eigenwert 1 ist ist also notwendig für die Existenz von G. G hat dann natürlich auch den Eigenwert 1.
Überhaupt ist es interessant, dass jeder Vektor durch Multiplikation mit G in den Eigenraum zum Eigenwert 1 abgebildet wird, das sagt sicher irgendwas über den Rang von G aus.
Hab leider nicht mehr Zeit, mich damit zu beschäftigen

wenn man schon mit eigenwerten anfängt, kann man auch sagen,
A = summe(i) |v_i> l_i <v_i|
mit eigenvektoren v_i und eigenwerten l_i

dann ist
A^n = summe(i) |v_i> l_i^n <v_i|

die eigenräume mit |l_i| < 1 kollabieren, die eigenräume mit |l_i| > 1 darf es nicht geben, da divergenz. bleiben also nur l_i = exp(i phi_i)

von diesen ist
phi_i = 0
konvergent, der rest zyklisch oder ergodisch auf dem einheitskreis.

interessant ist dieser satz, den sehe ich gerade nicht
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/definitionen/Grenzmatrix.htm

die obere beobachtung lässt sich auch anders formulieren:
wenn G existiert, dann muss G^2 = G, also projektionsmatrix. => alle eigenwerte 1 oder 0

für alle i : l_i = 0 geht übrigens auch

Bashar

Bist du Physiker? Ich kann deine Notation nicht lesen.

Bashar schrieb:

Bist du Physiker? Ich kann deine Notation nicht lesen.

äh, meinst du die |> ?

|v_i> : spaltenvektor v_i
<v_i| : zeilenvektor v_i

|l_i| > 1 : betrag von l_i größer 1, da ist wohl "|" und ">" doppelt belegt

ich gebe zu, es sieht mit proportionalen fonts noch schlimmer aus als es schon im textfeld war...

der satz aus der nrw-lernline ist aber besser geschrieben...

Bashar

Achso, jetzt macht das Sinn.

Mr.Fister

Naja, selbst in der Physik ist das "ket", also zb |v> ein Vektor und das "bra", also <v| ein Element aus dem Dualraum. Das Bra-ket (Bracket) ist dann ein Skalarprodukt, <e_i|e_j> = delta_ij fuer eine ONB.
Matrizen (Operatoren nennen wir das) kann man dann als Linearkombination von |e_i><e_j| aufschreiben.

Ben04 schrieb:

Und da das ganze vektorraumisomorph zum R^n ist, braucht er keine Norm auszuwählen, da alle Normen äquivalent sind.

schon, aber je nach Aufgabenstellung kann die Rechnung je nach Matrizennorm unterschiedlich schwierig sein.