4. [War: Wann und iwe ist arccos erlaubt?] f(x,y) Extrema bestimmen

[War: Wann und iwe ist arccos erlaubt?] f(x,y) Extrema bestimmen

  • S
     

    f(x,y) = sin(x+y) + sin(x) - sin(y)

für 0 <= x,y <= PI

    Bestimmen aller relativen Extrema und Sattelpunkte im Inneren des angegebenen Bereichs.

    fx = cos(x+y) + cos(x)
fy = cos(x+y) - cos(y)

grad f = 0

cos(x) = - cos(y)
x = -y // Ist doch falsch, oder? Wie löse ich das auf?

    MfG SideWinder

    0
  • B

    SideWinder schrieb:

    cos(x) = - cos(y)
x = -y // Ist doch falsch, oder? Wie löse ich das auf?

    Ist richtig, da 0 <= x,y <= PI und cos eingeschränkt auf dieses Intervall bijektiv ist.

    EDIT: Doch nicht ganz:

    cos(x) = - cos(y)
    cos(x) = cos(y+pi)

    so da muss ich erst noch ein bisschen wurschteln. 🙂

    EDIT2: Hiermit geht es: cos x = cos y <=> es gibt k aus Z mit x = y + 2kπ oder es gibt k aus Z mit x = -y + 2kπ

    0
  • S

    Ergibt weiter:

    x = -y
y = -x

Setze ich ein in eine der Gleichungen:

cos(x-x) + cos(x) = 0
cos(0) = -cos(x)
1 = -cos(x)
-1 = cos(x)
x = arccos(-1) = PI (nur PI in diesem Bereich)

=> y = -PI  Fehler, da nicht im Bereich

bzw. in die 2. Gleichung:

cos(x-x) - cos(-x) = 0
cos(0) = cos(-x)
1 = cos(-x)
arccos(1) = -x
0 = -x
x = 0

=> y = 0 Okay (0,0) ist ein Punkt.

Hessematrix der zweiten Ableitungen:

fxx = -sin(x+y) - sin(x)
fxy = fyx = -sin(x+y)
fyy = -sin(x+y) + sin(y)

für (0,0)
fxx = 0
fxy = 0
fyy = 0

Was jetzt? Dritte Ableitungen sind anzusehen? Und dann ein Tensor? Oder bin ich am Holzweg?

    MfG SideWinder

    0
  • S

    Bzw. nach deinem neuen Ergebnis:

    x = y + pi
y = x - pi

Setze ich ein in eine der Gleichungen:

cos(pi) + cos(x) = 0
cos(pi) = -cos(x)
-1 = -cos(x)
1 = cos(x)
x = 0

=> y = -PI  Fehler, da nicht im Bereich

bzw. in die 2. Gleichung:

cos(2x-pi) - cos(x - pi) = 0
cos(2x-pi) = cos(x-pi)
2x - pi = x - pi
2x = x
x = 0

=> y = -PI

Ah schon besser, da sollten ja eigentlich immer diesselben Werte rauskommen!

=> Es gibt keine Extrema?!

    MfG SidEWinder

    0
  • S

    Man sollte doch auch so verschieben können:

    x = y - pi
y = x + pi

Einsetzen:

cos(2x+pi) = -cos(x)
cos(2x+pi) = cos(x+pi)

2x + pi = x + pi
2x = x
x = 0

y = pi

Hesse-Matrix bei (0,pi)

fxx = cos(pi) + 1 = 0
fxy = -sin(0+pi) = 0
fyy = -sin(pi) + sin(pi) = 0

hmm wieder lauter 0er, was jetzt?!

    Mfg SideWinder

    0
  • B

    So gehts:

    cos x = -cos y
    cos x + cos y = 0
    2 cos (x+y)/2 cos (x-y) /2 = 0 (Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme)

    cos (x+y)/2 = 0 (I) oder cos (x-y) /2 = 0 (II)

    (I) da 0 ≤ (x+y)/2 ≤ π gilt (x+y)/2 = acos(0) = π/2 <=> x+y = π

    (II) da -π/2 ≤ (x-y)/2 ≤ π/2 und cos auf dem Intervall nur bei +-π/2 0 wird gilt x-y = π oder y-x = π

    zusammengefasst:
    cos x = -cos y <=> x+y = π oder x-y = π oder y-x = π

    0
  • H
     

    f (x, y) = sin (x + y) + sin (x) - sin (y)

Fuer x:
[e]delta[/e](f(x, y))/[e]delta[/e]x = cos (x + y) + cos (x) = 0 [e]rarr[/e]
cos (x + y) = -cos (x) [e]rarr[/e]
y = [e]pi[/e]

Fuer y:
[e]delta[/e](f(x, y))/[e]delta[/e]y = cos (x + y) - cos (y) = 0 [e]rarr[/e]
cos (x + y) = cos (y) [e]rarr[/e]
x = [e]pi[/e]/2
    0
  • B

    SideWinder schrieb:

    Bzw. nach deinem neuen Ergebnis:

    x = y + pi
y = x - pi

    Wegen des neuen Intervalls ist aber die Bijektivität kaputt gegangen, also kannst du den cos nicht einfach weg lassen. (wie du bei cos x = cos y könntest)

    0
  • ?

    SideWinder schrieb:

    f(x,y) = sin(x+y) + sin(x) - sin(y)

für 0 <= x,y <= PI

    Bestimmen aller relativen Extrema und Sattelpunkte im Inneren des angegebenen Bereichs.

    wenn das wirklich so da steht: punkte mit x = 0 oder x = pi oder y = 0 oder y = pi sind nicht im _Inneren_ der menge [0,pi]^2

    0
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