sind die mengen ... untervektorraum von V?

golden_jubilee

Sei F(R) der Vektorraum der reel-wertigen Funktionen auf R. Bestimme für die folgenden Teilmengen von F(R), ob sie einen Untervektorraum bilden:

(1) die Menge C(R) aller stetigen reellwertigen Funktionen
(2) die Menge aller f € F(R), die f(n) = 0 für alle n € N erfüllen
(3) die Menge aller f € F(R), die f(n) = n für alle n € Z erfüllen
(4) die Menge aller f € F(R), die nur endlich viele Werte annehmen, d.h. für die f(R) <teilmenge> R endlich ist

die bedingugne für einen untervektorraum sind, nicht leer, abgeschlossen, für addition und skalarmultiplikation

bis jetzt(schule) habe ich nur mit konkreten vektoren zu tun gehabt, hier gibts es aber gleiche ganze mengen von funktionen, die ich schlicht nciht einsetzen kann und probieren, deshalb fehlt mir jeder ansatz wie ich für unendlich? viele funktionen zeigen kann, dass ich sie addieren kann und das ergebnis im untervektorraum bleibt

ich vermute zwar, dass (1) ein untervektorraum ist, weil die stetigen funktionen "einfach ein paar weniger sind, als die in V"
(2) kein untervektorraum ist, weil es keine funktion gibt, die als ergebnis 0 haben kann (wenn man N\{0} nutzt}, sonst natürlich
bei (3) sehe ich auch nichts was dagegen spricht und bei (4) auch nicht

aber, dass kann ich leider nciht so aufschreiben

golden_jubilee schrieb:

ich vermute zwar, dass (1) ein untervektorraum ist, weil die stetigen funktionen "einfach ein paar weniger sind, als die in V"
(2) kein untervektorraum ist, weil es keine funktion gibt, die als ergebnis 0 haben kann (wenn man N\{0} nutzt}, sonst natürlich
bei (3) sehe ich auch nichts was dagegen spricht und bei (4) auch nicht

aber, dass kann ich leider nciht so aufschreiben

hier kommt das unglaublich erfolgreiche konzept des mathematischen beweises zum tragen.
(1)
- ist der nullvektor in C(R) ?
- wenn du ein f in C(R) skalar multiplizierst, ist es immer noch in C(R)?
- wenn du ein f,g in C(R) addierst, ist es immer noch iin C(R)?
=> BAM fertig

und kann es sein, dass du (2) und (3) vertauscht hast?

golden_jubilee

was zu machen ist ist mir klar, aber wenn ich eine reihe von funktionen haben kann ich die schlecht mit einer ganzen menge von skalaren multiplizieren

ich muss wohl anders begründen, dass eine skalar multiplikation mit einer stetigen funktion wieder eine element einer stetige funktion ist

Jover

du pickst dir einfach aus der betrachteten menge zwei beliebige elemente f und g raus. dann noch einen beliebigen skalar a aus dem skalarkörper und dann versuchst du zu zeigen, dass a*f+g ebenfalls aus der betrachteten menge ist. wenn du die elemente beliebig wählst, und keine weiteren einschränkungen machst, dann hast du es für alle gezeigt.

ad i) die 0-funktion ist immer stetig, also gilt 0 in C(R). sei f,g in C(R) beliebig und a in R beliebig, dann ist a*f+g als linearkombination von stetigen funktionen wieder stetig. also ist C(R) ein linearer Unterraum.

ad ii) übung