Fourier-Transformation

Hallo, ich soll die das Spektrum $F(\omega)$ von $f(t) = \begin{cases}cos^2(\pi t) & -0.5 \le t \le 0.5 \\ 0 \end{cases}$ ausrechnen. Hab ich mir gedacht, wendest du die Formel $F(\omega) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi} } \int\limits_{-0.5}^{0.5} f(t) \cdot e^{-j \omega t} \; dt$ an. Ich komm jedoch nach ein wenig Umformerei auf

\frac{1}{ \sqrt{2\pi} } \int\limits_{-0.5}^{0.5} 0.5 \d t \+ \frac 1 4 \left( \int\limits_{-0.5}^{0.5} e^{ jt(-\omega + 2\pi) } \; dt \+ \int\limits_{-0.5}^{0.5} e^{ -jt(\omega + 2\pi) } \; dt \right)

und von dort 1. nicht weiter, und 2. bezweifel ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin.

Hätte da jemand vielleicht irgendwelche Tipps und Vorschläge für mich?

(Gibts keine LaTeX-Vorschau hier im Forum?)

hier nochmal mit Formeln... Latex scheint hier nicht zu gehen:

http://mathbin.net/11240

spektrum schrieb:

... Latex scheint hier nicht zu gehen:

das scheint nicht nur so und ist nichts neues.
das nenne ich beharrliche ignoranz.

latex n00b schrieb:

spektrum schrieb:

... Latex scheint hier nicht zu gehen:

das scheint nicht nur so und ist nichts neues.
das nenne ich beharrliche ignoranz.

Das ist aber das erste mal in 1 oder 2 Jahren, dass ich hier LaTeX reinstellen möchte... ^.

spektrum schrieb:

hier nochmal mit Formeln... Latex scheint hier nicht zu gehen:

http://mathbin.net/11240

führ doch mal die integrale aus

Ich würde erstmal den Latex-Code vereinfachen.

scrub

Nur mal so ein Versuch, alle Angaben ohne Gewehr (neue Rechtschreibung, gell?): cos^2 kann man auch anders darstellen.

stsa

Man sollte beachten, dass es sich um eine reelle gerade Funktion handelt. Das vereinfacht die Sache doch erheblich.

spektrum schrieb:

Das ist aber das erste mal in 1 oder 2 Jahren, dass ich hier LaTeX reinstellen möchte... ^.

Ich meine ja auch nicht dich!

hartmut1164

Ich weiss nicht ganz, wie Du zu dem Term kommst, aber ich komme auf

F ([e]omega[/e]) = 

0,5
[e]int[/e] (cos t)^2 exp (-i [e]omega[/e]t) dt
-0,5

mit der Eulerschen Equivalanz:

cos (t) = (1/2) (exp (it) + exp (-it))

Muesste das zu loesen sein.

C14

Ich weiss nicht, wie die Vorposter auf ihre Formeln kommen (imho kann kein ^e vorkommen), aber ich komme bis auf das t im ersten Integral auf das selbe wie du.

Wie's von da weitergeht?
Du wirst doch die e-Funktion aufleiten können, oder?
(d/dt 1/a exp(a t) = exp(a t))
Endergebnis zum Vergleich:
F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{ \sin \omega}{(\omega+2\pi)(\omega-2\pi)} \right)
Grenzwert für omega gegen +/- 2 pi über entwicklung von sin(omega) -> wohldef.

hartmut1164

C14 schrieb:

Ich weiss nicht, wie die Vorposter auf ihre Formeln kommen (imho kann kein ^e vorkommen), aber ich komme bis auf das t im ersten Integral auf das selbe wie du.

Weil der "Vorposter" (ich) dicke Finger hatte ...