4. Bereichsintegral

Bereichsintegral

  • S

    Leider habe ich wieder eine der Übungen noch nicht geschafft und hoffe auf einen Tip durch euch.

    Folgendes Bereichsintegral:

    [e]int[/e][e]int[/e][e]int[/e] x dx dy dz

    begrenzt durch den Bereich einer Kugel im Nullpunkt mit Radius 1. Das Integral an sich zu lösen, ist für mich kein Problem. Und logischerweise kommt 0 für das Integral als Ergebnis heraus. Die Frage stellt sich für mich bei den Grenzen. Aus der Gleichung x²+y²+z² <= 1 ergibt sich für das innerste Integral sqrt(1-y²-z²) als obere Grenze und negativ als untere Grenze. Aber welche Grenzen sind dann für die Integrale dy und dz zu wählen? Falls (sqrt(1-z²) und ganz außen schließlich 1 der Fall ist ... erscheint mir irgendwie "so gehört's" weiß ich noch nicht warum.

    Auch einen ganz anderen Ansatz habe ich erfolgt. Die Ersetzung durch Kugelkoordinaten. Dort komme ich bis auf r²sin(theta) als Determinante und damit auf folgendes Integral:

    [e]int[/e][e]int[/e][e]int[/e] r*sin(theta)*cos(phi) * r² * sin(theta)

    aber auch hier habe ich wieder Probleme mit den Bereichsgrenzen. Das Integral selbst sieht imho nur kompliziert aus, da durch die Bereichsgrenzen vieles konstant ist und in die nächste Ebene hochgehoben werden kann (und da bereits das innerste Integral 0 ergeben müsste, sollten die anderen gar nicht mehr notwendig sein).

    Hoffe ihr könnt mir etwas helfen, ich komme nicht mehr weiter 😞

    MfG SideWinder

    0
  • R

    Aus der Gleichung x²+y²+z² <= 1 ergibt sich für das innerste Integral sqrt(1-y²-z²) als obere Grenze und negativ als untere Grenze. Aber welche Grenzen sind dann für die Integrale dy und dz zu wählen? Falls (sqrt(1-z²) und ganz außen schließlich 1 der Fall ist ... erscheint mir irgendwie "so gehört's" weiß ich noch nicht warum.

    Ja, so gehört's. Am verständlichsten ist es vielleicht, wenn du dir den Konturenplot für alle Axen zeichnest und dir überlegst, was das Integral eigentlich macht.

    0
  • ?

    du kannst das auch mathematisch aufschreiben:

    $$\int dy \int dx \Theta(1 - x^{2} - y^{2}) f(x,y)

    =∫−11dy∫−11dxΘ(1−x2−y2)f(x,y)=\int_{-1}^{1} dy \int_{-1}^{1} dx \Theta(1 - x^{2} - y^{2}) f(x,y)

    =∫−11dy∫−1−y2+1−y2dxΘ(1−x2−y2)f(x,y)=\int_{-1}^{1} dy \int_{-\sqrt{1 - y^{2}}}^{+\sqrt{1 - y^{2}}}dx \Theta(1 - x^{2} - y^{2}) f(x,y)

    \+ \int_{-1}^{1} dy \int_{-1}^{-\sqrt{1 - y^{2}}}dx \Theta(1 - x^{2} - y^{2}) f(x,y) \+ \int_{-1}^{1} dy \int_{+\sqrt{1 - y^{2}}}^{1}dx \Theta(1 - x^{2} - y^{2}) f(x,y) =\int_{-1}^{1} dy \int_{-\sqrt{1 - y^{2}}}^{+\sqrt{1 - y^{2}}}dx f(x,y)$$

    wobei theta die heaviside-funktion ist. offensichtlich wählt man die grenzen des integrals gerade so, dass der ausdruck in der theta-funktion null ist, und lässt die terme mit theta(...) = 0 weg.

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