Lineare inhomogene Rekursion 3. Ordnung
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a[n] + 3a[n-1] + 3a[n-2] + a[n-3] = 2^n - 3*(-1)^n
- in eckigen Klammern steht jeweils der Index
- Mathematica findet eine LösungCharakteristisches Polynom liefert als Nullstellen dreifach -1, mit dem Ansatz komme ich auf: (C1 + C2n + C3n2)(-1)n ... das findet sich auch noch in der Mathemtaica-Lösung wieder.
Danach eine partikuläre Lösung finden...Superpositionsprinzip angewendet:
a[n] + 3a[n-1] + 3a[n-2] + a[n-3] = 2^n
Ansatz: x*2^nkomme ich auf x = 8/27
und damit auf a[n] = 8/27 * 2^n
Auch das lässt sich in Form von 1/54 * 2^(n+4) noch in der Mathematica Lösung wiederfinden.
Aber jetzt, Problem, die zweite partikuläre:
a[n] + 3a[n-1] + 3a[n-2] + a[n-3] = - 3*(-1)^n
Ansatz: -x(-1)^nliefert mir keine Lösung... : /
Welchen Ansatz muss ich nehmen? Laut Buch sollte der stimmen : /
Hoffe auf einen guten Tip
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-n^3
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a[n] + 3a[n-1] + 3a[n-2] + a[n-3] = -3(-1)^n Ansatz laut dir: -n³ (ich nehme an es ist -xn³ gemeint) -xn³ - 3x(n-1)³ - 3x(n-2)³ - x(n-3)³ = -3(-1)^n /*(-1) xn³ + 3x(n-1)³ + 3x(n-2)³ + x(n-3)³ = 3(-1)^n xn³ + 3x(n³ - 3n² + 3n - 1) + 3x(n³ - 6n² + 12n - 8) + x(n³ - 9n² + 27n - 9) = 3(-1)^n xn³ + 3xn³ - 9xn² + 9xn - 3x + 3xn³ - 18xn² + 36xn - 24x + xn³ - 9xn² + 27xn - 9x = 3(-1)^n 8xn³ - 36xn² + 72xn - 36x = 3(-1)^n und jetzt?MfG SideWinder
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na ich dachte das -1^n hast du schon rausgeteilt...
(-1)^n * n^3
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...dann kommt wieder keine Lösung heraus. Die heben sich alle auf und 0 = -3 kann nicht sein.
MfG SideWinder
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(-1)^n n^3 + 3 * (-1)^(n-1) (n-1)^3 + 3 * (-1)^(n-2) (n-2)^3 + (-1)^(n-3) * (n-3)^3 = (-1)^n [ n^3 - 3(n-1)^3 + 3(n-2)^3 - (n-3)^3 ] = (-1)^n * 6das ist doch schonmal interessant, oder?
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Ich habe aus irgendeinem Grund -3-24+27 statt 3-24+27 gerechnet und deshalb hat sich das bei mir als 0 und nicht als 6 herausgewertet : /
Danke,
MfG SideWinder