stetigkeit

ich habe die funktion

f(x,y) = (sin(xy)/ (x^2+y2)) x,y != 0
= 0 x,y == 0

gegeben

und soll zeigen dass diese im Punkt (0,0)
nicht stetig ist,

aber wie kann ich den Grenzwert von (sin(xy)/ (x^2+y2)) berechnen?
Habe sowas noch nie mit 2 Variablen gemacht, gibts da auch eine Art
L´Hospital-regel?

steter tropfen schrieb:

aber wie kann ich den Grenzwert von (sin(xy)/ (x^2+y2)) berechnen?

Gar nicht, weil die Funktion ja niht stetig ist.

Welche Definition von Stetigkeit kennst und möchtest du für diese Aufgabe verwenden?

XFame

Sie ist dort weder stetig noch unstetig, da sie in (0,0) nicht definiert ist.

//edit: Hups, habe die zweite Zeile uebersehen.

betrachte zwei verschiedene Nullfolgen (x_n, y_n) -> (0, 0):

die eine habe die Form (x_n, 0), dann ist der Grenzwert von f(x_n,0): sin(0)/(x_n^2), also 0

die andere habe die Form (x_n, x_n), dann ist der Grenzwert von f(x_n, x_n): sin(x_n^2)/(2x_n2) = 0.5

(beachte sin(x)/x -> 1, also sin(x)/2x -> 0.5 für x -> 0)

lim f(x_n, y_n) hängt also davon ab, wie sich die Folge (x_n, y_n) der Null nähert, also ist f nicht stetig in Null.

ja wenn das so klar wäre...

also ich weiß dass bei stetigkeit alle Folgen die gegen x0 konvergieren auch die bilder konvergieren, das habe ich vorhion mal gegooglet aber ich weiß nicht wie ich das benutzen könnte

das zweite das mir eingefallen ist, das obere durch eine reihe zu ersetzen aber

x*y-(1/6)*x^3*y3... / x^2+y2

sieht irgendwie auch nicht besser aus

was gibt es denn für weiter möglichkeiten?

ich müsste doch eig zeigen können dass x^2+y2 nicht schneller gegen null geht als sin(x*y) oder?

was fällt mir sonst noch ein? ... die Stetigkeit der partiellen Ableitungen wäre noch was denke ich , wenn ich richtig gelsen habe ist im Falle von 2variablen die stetigkeit der part ableitungen hinreichend für die existenz einer tangentialebene und damit auch stetigkeit

aber :
cos(x*y)*y/(x^2+y2)- 2*sin(x*y)*x/(x^2+y2)^2 = d/dx f(x,y)

da kann ich auch nicht viel drüber aussagen...

ich muss zugeben ich habe keine ahnung grad

Lass' dir die Funktion mal plotten. Dann wird auch klar, wie das ganze aussieht, und was da genau unstetig ist.
Die Pointe ist, dass die Unstetigkeit daraus erwächst, dass die funktion zweidimensional ist.

Bashar

..,- schrieb:

steter tropfen schrieb:

aber wie kann ich den Grenzwert von (sin(xy)/ (x^2+y2)) berechnen?

Gar nicht, weil die Funktion ja niht stetig ist.

Mal unabhängig von dem Beispiel: Sie muss dafür nicht stetig sein, es genügt, wenn sie stetig fortsetzbar ist.

das von user_- klingt super nur kann man mir das nochmal erklären?

ich habe also 2 folgen eine x_n die gegen null geht und y_n die gegen null geht

ist es vollkommen egal WELCHE nullfolgen das sind?

es belibt ja immer x_n stehen aber dennoch sieht es so aus als ob das möglich wäre

steter tropfen schrieb:

ja wenn das so klar wäre...
also ich weiß dass bei stetigkeit alle Folgen die gegen x0 konvergieren auch die bilder konvergieren,

es reicht nicht, daß die Folgen der Bilder konvergieren, sie müssen auch alle gegen denselben Wert konvergieren, und das ist hier nicht der Fall - in meinem Posting sind zwei Folgen beschrieben, deren Bildfolgen gegen 0 bzw. 0.5 konvergieren, das ist ein Beweis für die Unstetigkeit in (0,0).

beide Folgen haben die Form (x_n, y_n) mit irgendeiner Nullfolge x_n, unterscheiden sich aber bezüglich y_n:

die eine Folge ist (x_n,0) - also eine Folge mit y_n konstant 0 - die andere ist (x_n, x_n) - also eine Folge mit y_n = x_n. Wenn x_n eine beliebige Nullfolge ist, sind (x_n,0) bzw. (x_n, x_n) auch Nullfolgen, aber die Bildfolgen konvergieren gegen 0 bzw. 0.5

Ben04

Annahme: f ist stetig
=> f ist für x=y stetig
=> sin(x^2)/(2x2) -> 0 für x -> 0
=> ...
=> Widerspruch

Es gibt keinen mehrdimensionalen Hospital.