Konvergenz von Reihe
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Kann mir jemand sagen, ob die folgende Reihe konvergiert, und mit welchen kriteriern/umformungen das zu bewerkstelligen ist?
Das sin ist der knackpunkt, ich hab das früher schonmal mit einer darstellung als e^iphi gezeigt, weiß jetzt aber nicht mehr genau wie, oder ob das hier überhaupt möglich ist.
Danke für etwaige hilfe
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ein bisschen verdichten -> alternierende reihe. dann leibni(t)z-kriterium.
vielleicht gehts auch einfacher
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jop, in alternierende Reihe umformen und dann Leibnizkriterium. ln^100(n) / n -> 0 (L'Hospital)
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Es sieht jetzt folgendermaßen aus:
\begin{align*} b_n &= \frac{\ln^{100}n}{n} \\ \lim_{n \rightarrow \infty} b\_n &= \frac{\infty}{\infty} = \lim\_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{100}{n} \ln^{99} n}{1} = \dots \\ \dots &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{100!}{n} = 0 \\ b_{n+1} &\leq b\_n \Rightarrow b\_n \downarrow \end{align*}
Leibniz-Vorbereitung:Sinus werte(n*pi/4, #=1/2*sqrt(2)):
0 # 1 # 0 -# -1 -# 0Allerdings keine direkt alternierende Reihe, ich probiers mal einfach so:
\[ \sum_{n=1}^\infty b\_n \sin \frac{n\pi}{4} = \sum b\_{8n+1}\frac{1}{2}\sqrt{2} + \sum b_{8n+2} + \sum b_{8n+3}\frac{1}{2}\sqrt{2} - \sum b_{8n+5}\frac{1}{2}\sqrt{2} - \sum b_{8n+6} - \sum b_{8n+7}\frac{1}{2}\sqrt{2} \]Wobei alle reihen konvergieren.
Und jetzt natürlich die Königsfrage:
Kann man das so machen?
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gregegrreg schrieb:
Und jetzt natürlich die Königsfrage:
Kann man das so machen?Nein, da sind noch schwerwiegende Fehler drin.
1.∞/∞
WTF?
2. b_n+1 < b_n musst du zeigen. das gilt auch erst ab einem bestimmten N
3. Reihen umordnen, von denen du nicht weißt ob sie konvergieren? Wirklich?
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..,- schrieb:
[
∞/∞
WTF?
Er zeigt, dass das eine Nullfolge ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L’Hospital
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Jetzt habe ich dann wieder einen anderen Ansatz gefunden:
Das Leibniz-Kriterium ist ein Spezialfall d. Dirichlet-Kriteriums mit b_k=(-1)^n
Nun mache ich mein b_k aber sin(npi/4).
Die Partialsummen von b_k sind beschränkt (1+sqrt(2)) und a_k ist die nullfolge von oben(dort b_k)
--> summe a_kb_k konvergiert.
Das sollte doch jetzt so stimmen. a_k ist monoton und lim a_k = 0.(alle voraussetzungen für dirichlet sind erfüllt)
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Monoton fallend für n>e^100
und summe(a_n*b_n,0,e^100)<inf (klar)