determinante
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ich soll die determinante einer nxn matrix berechnen, die auf der hauptdiagonalen nur 2en hat und sonst 1
det(A_2) = 3
det(A_3) = 4Vermutung det(A_n) = n+1
jetzt muss das ganze nur noch bewiesen werden und dazu steht als tipp, ich soll doch die matrix in die rechte obere Dreiecksmatrix transformieren
macht auch sinn, damit ich nur noch die elemente der hauptdiagonalen lang multiplizieren muss
ich habe nur leider überhaupt keine vorstellung wie ich eine matrix umformen soll, die bis n geht
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Offensichtlich sind (1,1,...,1) und (1,-1,0,...), (0,1,-1,0,...), ..., (0,...,0,1,-1) Eigenvektoren zu den Eigenwerten n+1,1,1,...,1. Also ist die Determinante (n+1)*1*1*...*1 = n+1.
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fdfdgdf schrieb:
Offensichtlich sind (1,1,...,1) und (1,-1,0,...), (0,1,-1,0,...), ..., (0,...,0,1,-1) Eigenvektoren zu den Eigenwerten n+1,1,1,...,1. Also ist die Determinante (n+1)*1*1*...*1 = n+1.
wie kann man den die eigenwerte berechnen ohne die determinanten zu kennen?
für das charakteristische polynom ist doch det(A-lambdaE) notwendigoder darf man das rückwärts betrachtet verstehen?, dann frage ich mich warum die Eigenvektoren so offensichlich sind
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Die Eigenvektoren wurden einfach durch scharfes Hinsehen geraten.
Die Matrix ist diagonalisierbar mit einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren nach dem Spektralsatz, weil sie symmetrisch ist.