Ordnungsrelation, maximales und minimales Element.

Guten Morgen!

Satz
(M,≤) sei eine endliche geordnete Menge, die Menge M sei nicht leer. Dann existiert in M ein minimales und ein maximales Element.

Es geht darum, den obigen Satz zu beweisen. Leider verstehe ich den Beweis nur teilweise. Ich poste mal einen Auszug aus dem Beweis, also die Zeilen, die ich nicht kapiere:

...
Die Existenz minimaler Elemente erhält man hieraus wie folgt:
Sei ≤' die Umkehrrelation von ≤, d.h. für alle x, y $\in$ M ist x ≤' y := <=> x ≥ y.
Dann ist ≤' eine Ordnung auf M.
Also existiert nach dem soeben Gezeigten ein maximales Element bzgl. der Ordnung ≤' in M. Dieses ist ein minimales Element bezüglich der Ordnung ≤.

Was bedeutet hier die Aussage: "... bezüglich der Ordnung ..."?
Wie kann denn ein minimales Element gleichzeitig das maximale Element von M sein?
Wenn ich die Umkehrrelation von ≤ bilde, dann erhalte ich also ≤', aber das ändert doch nichts an der Menge M an sich.

Gruß,
m.

mathematikpraktikant schrieb:

Was bedeutet hier die Aussage: "... bezüglich der Ordnung ..."?
Wie kann denn ein minimales Element gleichzeitig das maximale Element von M sein?
Wenn ich die Umkehrrelation von ≤ bilde, dann erhalte ich also ≤', aber das ändert doch nichts an der Menge M an sich.

Gruß,
m.

Du kannst verschiedene Ordnungen auf einer Menge definieren. Die Menge bleibt zwar die gleiche, aber wenn du alle Elemente, vom "kleinsten" zum "größten" ordnetst, hängt die Reihenfolge von der Ordnung ab, die du verwendetst.

Korollar: Das maximale Element bezüglich einer Ordnung kann das minimale Element bezüglich einer anderen Ordnung sein. Wenn du dir die Definition von "Minimal" anschaust, dann wird die Ordnungsrelation verwendet. Deswegen kann eine andere Ordnungsrelation zu einem anderen "Minimal"-Element führen.

Richie_Gecco

Tach!

Also, ihr habt gezeigt, dass eine Ordnung ein maximales Element besitzt.
Maximal heisst, dass es ein $$a \in M$$ gibt, so dass fuer
alle $$x \in M: x \le a$$ gilt.

Das heisst, dass es ein Element auf der rechten Seite die Relation gibt, welches fuer beliebige Elemente auf der linken Seite die Relation erfuellt.

Jetzt betrachtet ihr die Umkehrrelation $$\le^$$. Nach dem obigen Beweis gibt
es ein Element $$b \in M$$, so dass fuer
alle $$x \in M: x \le^ b$$ gilt. Dies ist gleich bedeutend mit

\forall x \in M: x \ge b$$. Somit ist b das kleinste Element. Gruesse, Richie

Super, leuchtet ein!
Ich danke euch,
Gruß,
m.

Hallo, ich möchte es mir anhand eines Beispiels klar machen, jedoch kriege ich es irgendwie nicht hin.
Mein Ansatz:

M := {1,2,3}.
Ordnungsrelation: ≤ := { (1,2) }.
Umkehrrelation: ≤' = { (2,1) }.

Nun sei a maximales Element von M. Es ist a=3, aber jetzt kann ich doch nicht mehr schreiben, das a maximales Element bezüglich ≤ ist?

Und wie bekomme ich nun das b, als maximales Element bezüglich
≤' und daraus dann wiederum das kleinste Element bezüglich ≤?

*push*

matheprakti_2 schrieb:

Nun sei a maximales Element von M. Es ist a=3,

Ja wieso das denn?

Hmmm...weil es hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element
so

Ein Element einer geordneten Menge ist maximal, wenn es kein größeres gibt.

steht. Nun habe ich einfach das größte Element a genannt. Ist das falsch?
Ich wollte zum Beispiel von mathematikpraktikant ein praktisches Beispiel konsturieren. Weißt du wie das geht?

matheprakti_2 schrieb:

Hmmm...weil es hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element
so

Ein Element einer geordneten Menge ist maximal, wenn es kein größeres gibt.

steht. Nun habe ich einfach das größte Element a genannt. Ist das falsch?
Ich wollte zum Beispiel von mathematikpraktikant ein praktisches Beispiel konsturieren. Weißt du wie das geht?

Bezüglich der ordnung ≤ ist
1 ≤ 2 ≤ 3
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤3 => 3 ist max.element (bezüglich ≤)

Bezüglich der Ordnung ≤' ist
3 ≤' 2 ≤' 1
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤'1 => 1 ist max.element (bezüglich ≤')

der ausdruck "kein größeres" bezieht sich auf eine ordnungsrelation.

..,- schrieb:

...
Bezüglich der Ordnung ≤' ist
3 ≤' 2 ≤' 1
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤'1 => 1 ist max.element (bezüglich ≤')

das ist ja krass!
ist das mathematisch zulässig? weil nicht definiert ist was für elemente in M sind? wenn M Teilmenge IN wäre, könnte man das nicht so schreiben oder?

Bashar

Das Mondgesicht hat wohl nicht gesehen, dass bei deiner Ordnung nur 1 ≤ 2 und sonst nichts gilt (BTW, für strenge Ordnungen wie deine (nicht reflexiv!) würde ich das Zeichen < bevorzugen).

Ein maximales Element ist eins, für das es kein größeres Element gibt (d.h. x ist maximal gdw. für alle y mit x ≤ y folgt x = y). Deine Ordnung ≤ hätte also die Maxima 2 und 3.

matheprakti_2 schrieb:

das ist ja krass!
ist das mathematisch zulässig? weil nicht definiert ist was für elemente in M sind? wenn M Teilmenge IN wäre, könnte man das nicht so schreiben oder?

oh, ich trollo!
klar ist das zulässig, weil doch ≤' := ≥ ist!

aber dann steht doch da:
3 ≤' 2 ≤' 1
das ist doch gleich
3 ≥ 2 ≥ 1

hääääh? dann ist doch nicht 1 größtes element bezüglich ≥' sondern immer noch 3.
!

..,- schrieb:

3 ≤' 2 ≤' 1
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤'1 => 1 ist max.element (bezüglich ≤')

warum ist 1 maximales element, weil es auf der rechten seite steht?
warum wird die größer der gleich beziehung(≥) außer kraft gesetzt?

es heißt doch :

...
Sei ≤' die Umkehrrelation von ≤, d.h. für alle x, y $\in$ M ist x ≤' y := <=> x ≥ y.

Vielleicht mal was Grundlegendes:
Die Relation >= auf N ist, wie der Name Relation schon sagt, eine Teilmenge von N x N mit bestimmten Eigenschaften. Genauer:

>= := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ..., (3,3), (4,3), (5,3), ... }

Relationen können frei gewählt werden, solange sie die verlangten Eigenschaften haben (Transitivität usw.)
Das Zeichen ">=" ist nur ein *Name* für eine Teilmenge, die oben aufgezählte Menge könnte auch "R" heißen:

R := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ..., (3,3), (4,3), (5,3), ... }

dann würde man schreiben "xRy" für "x >= y". Und mit "R" würde dann auch keine Verwirrung mit der umgekehrten Relation "<=" entstehen. Relationen bestehen nicht nur zwischen Zahlen, man könnte auch definieren R := "... ist mindestens so hoch wie ...", das wäre dann eine Teilmenge von M x M mit M := Menge aller Häuser.

Diese Grundlagen sind mir bekannt, aber wie kann man für diesen Beweis

...
Die Existenz minimaler Elemente erhält man hieraus wie folgt:
Sei ≤' die Umkehrrelation von ≤, d.h. für alle x, y $\in$ M ist x ≤' y := <=> x ≥ y.
Dann ist ≤' eine Ordnung auf M.
Also existiert nach dem soeben Gezeigten ein maximales Element bzgl. der Ordnung ≤' in M. Dieses ist ein minimales Element bezüglich der Ordnung ≤.

ein praktisches Zahlenbeispiel liefern?
Ein maximales Element bezüglich ≤' ist in meinen Augen auch ein maximales Element bezüglich ≤ bei gleichbleibender, bekannter Rangordnung der natürlichen Zahlen. Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?). Bloß in dem zu beweisenden Satz steht nichts davon geschrieben, das M Teilmenge IN ist, da liegt vermutlich mein Denkfehler.

Bashar

mathematikpraktikant schrieb:

Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?).

Nein, ohne Ordnungsrelation ist der Begriff "maximales Element" sinnlos. Erst die Menge zusammen mit der Ordnungsrelation, die geordnete Menge, hat vielleicht ein Maximum.

SG1

mathematikpraktikant schrieb:

Ein maximales Element bezüglich ≤' ist in meinen Augen auch ein maximales Element bezüglich ≤

Nein. ≤' und ≤ sind unterschiedliche Relationen.

bei gleichbleibender, bekannter Rangordnung der natürlichen Zahlen.

Vergiss, dass Du irgendwann mal in der Grundschule eine bestimmte Relation ≤ genannt hast. Die ist hier vollkommen irrelevant.

Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?).

Nein. Maximale Elemente sind Eigenschaften von Relationen.

SG1 schrieb:

Nein. Maximale Elemente sind Eigenschaften von Relationen.

Nagut, aber wie sieht es denn mit einem Zahlenbeispiel aus?
Ich poste noch einmal das Beispiel von "..,-":

..,- schrieb:

Bezüglich der Ordnung ≤' ist
3 ≤' 2 ≤' 1
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤'1 => 1 ist max.element (bezüglich ≤')

Es ist ja auch x ≤' y := <=> x ≥ y.
Warum ist hier also 1 maximales Element, wenn doch 3 ≤' 2 ≤' 1 das selbe ist wie 3 ≥ 2 ≥ 1

mathematikpraktikant schrieb:

Warum ist hier also 1 maximales Element, wenn doch 3 ≤' 2 ≤' 1 das selbe ist wie 3 ≥ 2 ≥ 1

Schreib' uns doch bitte die Definition des maximalen (und minimalen) Elements auf.

Mache ich glatt:

a ist maximales Element von M : $\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: a ≤ b $\Rightarrow$ a = b

a ist minimales Element von M : $\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: b ≤ a $\Rightarrow$ a = b