Ordnungsrelation, maximales und minimales Element.

[MamboKurt]

@implikat0r: das für alle ist so schon richtig. es gibt eine logische regel, die "ex falso quodlibet" heißt. das bedeutet, wenn bei der Aussage "A=>B" A falsch ist, dann ist "A=>B" wahr (siehe Wahrheitstafel )
in diesem falls heißt dass wenn y nicht 1 ist, dann ist "1Ry" falsch, also ist "1Ry => y=1" wahr. der einzige fall für den "1Ry" wahr ist, ist für y=1, aber dann ist eben "y=1" wahr, also auch "1Ry => y=1". dem zufolge ist die aussage "1Ry => y=1" für alle y wahr.

mfg
MamboKurt

[u_ser-l]

@implikatOr: lies dir die Definition von "maximales Element" noch mal genau durch, und dann nochmal und nochmal und nochmal. Irgendwann muß der Groschen fallen.

[implikat0r]

Heinzelotto schrieb:

Eine Ordnungsrelation ist reflexiv, d.h. jedes Element der Menge, über der die Ordnung definiert ist, steht zu sich selbst in Relation.

Ja, das trifft hier ja auch auf jedes Element zu.

MamboKurt schrieb:

@implikat0r: das für alle ist so schon richtig. es gibt eine logische regel, die "ex falso quodlibet" heißt. das bedeutet, wenn bei der Aussage "A=>B" A falsch ist, dann ist "A=>B" wahr ...

Ja, aber hier ist ja A für alle y aus M richtig, bezüglich der Realtion R',
denn für alle Elemente aus M gilt 1 ≤ y

Es geht prizipiell um Folgendes, die Menge M := {1,2,3}, um die Relation
R := { (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3) } und um die Umkehrrelation
R' = { (1,1), (2,1), (3,1), (2,2), (3,2), (3,3) } = R^-1

Speziell geht es um die Frage: Ist 1 maximales Element bezüglich der Relation R'?
Um die Frage mit einem ja beantworten zu können,
muss für alle y $\in$ M gelten: 1 ≤ y => 1 = y.
Die Implikation ist aber nur für 1 $\in$ M wahr, für 2, 3 $\in$ M ist sie falsch. Darum ist 1 nicht maximales Element von M bezüglich R'.

[u_ser-l]

y=2 und y=3 erfüllen aber gar nicht 1 <= y bzw. 1Ry, oder ist (1,2) etwa in R enthalten? Also folgt daraus gar nichts.

Das hat MamboKurt doch ausführlich erklärt.

Wenn y so beschaffen ist, daß gilt: 1Ry, dann folgt daraus bereits y=1, denn es gibt kein y ungleich 1 mit 1Ry.

[huhuhihi]

(R* == R^-1)

1R*y => y=1

ist äquivalent zu

{1}x{M} ⋂ R* = {(1,1)}

und das ist wahr.

[implikat0r]

u_ser-l schrieb:

.. oder ist (1,2) etwa in R enthalten?

Nein, (1,2) ist nicht in R enthalten. Wir betrachten doch aber R' und (1,2) ist in R' enthalten.

[mplikat0r]

mist, jetzt hab ich mich vertippt, kann obiges leider nicht löschen.
also, wir betrachten doch R' und da ist (1,2) nicht enthalten!

aaaach soo ... wart mal ... du gehst auf die erklärung von MamboKurt ein ... und ... oh. *PLING*
darum ist also die implikation 1 ≤ 2 => 1 = 2 wahr!

[implikat0r]

mit anderen worten: x und y müssen xRy erfüllen, sonst ist die prämisse
x ≤ y falsch!

[mathematik0r]

implikat0r schrieb:

mit anderen worten: x und y müssen xRy erfüllen, sonst ist die prämisse
x ≤ y falsch!

ich glaube, du hast es endlich kapiert!

[mathematikpraktikant]

Ok, ich habs nun kapiert. Mein Problem war es zu begreifen, das dieses Paar mit dem maximalen Element in der Relation enthalten sein muss!
Die vielen Seiten haben sich also gelohnt!
Ich hoffe, das ich bei meiner nächsten Frage nicht so eine lange Leitung haben werde. :p
Grüße,
m.