Beweis: Anordnung der reellen Zahlen

Hi,

habe eine Frage zu einem Beweis bezügl. des linear geordneten Körpers der Reellen Zahlen.

Es gilt:
a ≤ b und c ≤ d impliziert a+c ≤ b+d

Hier ist der Beweis klar. Ich kann die Axiome der Additionsverträglichkeit und der Transitivität verwenden:

a ≤ b => a + c ≤ b + c
c ≤ d => c + b ≤ d + b

Daraus folgt der obige Satz.

JETZT gibt es aber auch folgenden Satz:

a < b und c ≤ d => a+c < b+d

Wegen dem ersten Satz gilt ja auch hier, dass a + c ≤ b + d. Wie beweise ich aber, dass die Gleichheit, also a+c = b+d nicht gelten kann?

Danke

rüdiger

c = d
a + c = b + d
a + c = b + c
a = b
Widerspruch mit a < b

Sorry aber warum folgt aus a+c=b+d der Ausdruck c=d? Wäre c=d, so müsste a+c<b+d gelten, da a<b, oder?

rüdiger

ups, hab dich wohl ein bisschen falsch verstanden.

Der Beweis in dem Fall geht aber recht ähnlich:
a < b => a + c < b + c
c ≤ d => c + b ≤ d + b

a + c < b + c ≤ d + b => a + c < b + d

OK, danke, das ist einleuchtend.

In meinem Skript habe ich einen anderen Beweis gefunden, den kann ich aber nicht nachvollziehen. Würde diesen aber auch gerne verstehen, trotz deiner einfacheren Möglichkeit:

"Ist a < b, so folgt ebenfalls a + c ≤ b + d; aber das Gleichheitszeichen kann dann nicht gelten: Wäre a + c = b + d, so erhielten wir c + b ≤ a + c, also b ≤ a, was a < b widerspräche."

Wieso folgt aus a + c = b + d gleich c + b ≤ a + c?
Ich stehe wirklich auf dem Schlauch...

OK, ich stand auf dem Schlauch.

c + b ≤ a + c, weil c + b ≤ b + d (da c ≤ d). b + d = a + c, deshalb ist c + b≤ a + c.