Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen

Ich soll den maximalen und minimalen Wert von

x^2 + y^2

bestimmen wobei

3* x^2 + 4*x*y + 6*y^2 = 140
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ich habe keine ahnung wie ich da genau vorgehen soll, ich komm mit sehr verschiedenen methoden auf teils sehr verwirrende ergebnisse weshalb ich gar nicht erläuternb will was ich versucht habe...

wie sollte ich an diese aufgabe rangehen?

meine ideen:

lagrange funktion austellen:
damit komme ich irgendwie dazu dass x= +/- 2, y= +/- 4
die nebenbedingung einfach nach x oder y auflösen
damit käme ich auf einige kandidaten mehr
y= -4, 4, +sqrt(14) , -sqrt(14)
und zu jedem y kämen noch 2 x- Werte

naja ich bin noch etwas überfordert damit und würde mich über tipps / lösungen freuen

Taurin

Stichwort: Lagrange Multiplikatorenregel
-> http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Du musst nur deine Nebenbedingung in der Form g(x,y) = 0 schreiben. Achtung: Die Lagrange Multiplikatorenregel gibt dir nur ein notwendiges, kein hinreichendes Kriterium für lokale Extremstellen.

edit: Ich seh gerade, du hast sowas schon versuchst. Was hast du denn genau gemacht?

Du stellst die Funktion h(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda * g(x,y) auf.

h Ableiten nach x und y und jeweils gleich null setzen gibt zwei Gleichungen.
Ausserdem hast du ja noch deine Nebenbedingung als dritte Gleichung. Damit hast du drei Gleichungen und drei Unbekannte: x, y und lambda.

Hast du das so gemacht? Zeig mal deine Rechnung!

also:

ich habe folgenden LagrangenMultiplikator...

x^2 + y^2 + l * (3*x^2 + 4*x*y + 6*y^2 -140)

Ableitungen berechnet und folgende Ergebnisse:

Minima bei (2,4) und (-2,-4)
Maxima bei (-2* sqrt(14, sqrt(14)) und das selbe nur Vorzeichen vertauscht

könnte das einer für mich kontrollieren?

shisha schrieb:

also:

ich habe folgenden LagrangenMultiplikator...

x^2 + y^2 + l * (3*x^2 + 4*x*y + 6*y^2 -140)

Ableitungen berechnet und folgende Ergebnisse:

Minima bei (2,4) und (-2,-4)
Maxima bei (-2* sqrt(14, sqrt(14)) und das selbe nur Vorzeichen vertauscht

könnte das einer für mich kontrollieren?

Das Maximum hab' ich auch. Du kannst das ganze viel einfacher haben wenn du schreibst

x^2 + y^2 -> max/min
       [ 3  2 ] [ x ]
[x, y] [      ] [   ] = 140
       [ 2  6 ] [ y ]

          [ 7  0 ] [ u ]
 = [u, v] [      ] [   ] = 140
          [ 0  2 ] [ v ]
(diagonalisiert, kann ich machen. Eigenvektoren sind einfach, mit CAS noch einfacher)

= 7u² + 2v²

Damit hast du

u^2 + v^2 -> max/min
(Orthonormale Basis)

und 

7 u^2 + 2 v^2 = 140

Die Lösungen davon ist offensichtlich.

Wenn du dir das ganze vorher mal anschaulich überlegt hättest: du suchst das maximum/minimum vom Radius auf einer Ellipse. Es ist relativ klar, dass die Punkte auf der großen Halbachse den größten und die auf der kleinen den kleinsten Abstand zum Nullpunkt haben.

whansinn... danke

quadriken habe ich natürlich schon besprochen, aber trotzdem noch etwas hilfe bitte...
wie kommst du da drauf?

also gut die bedingung ist eine ellipse... klar
voraussetzung ist also dass meine punkte auf der ellipse liegen
aber meine ellipse liegt irgendwie in der ebene...
wie kommst du darauf dass die halbachsen die lösung sind?

das verstehe ich leider nicht

kann ich das eventuell nur machen da die ellipse den mittelpunkt im ursprung hat?

Hallo,

shisha schrieb:

kann ich das eventuell nur machen da die ellipse den mittelpunkt im ursprung hat?

Vollkommen richtig . Die Gleichung

a*x^2 + b*xy + c*y^2 = K

beschreibt eine Ellipse, die punktsymmetrisch um den Ursprung liegt (x,y in E -> -x,-y in E)

Das ganze kann man immer wie oben als v^tMv schreiben kann, wobei M eine Matrix und v[h]t[/v] = [x,y] ein Vektor ist. Das weiß man (du jetzt auch).
Dass M symmetrisch sein kann, weiß man auch, ist auch klar da x*y = y*x.

Und das erste, woran man bei einer symmetrischen Matrix denkt ist: Diagonalisieren. Und in diesem Fall bringt das sogar was (nämlich die Gleichung in eine angenehme Form)