hilfe bei aufstellen einer differenzengleichung bzw. rekursionsgleichung

[math-o-matic]

ich stehe vor folgender aufgabe (alte prüfungsangabe): "Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:"

$\sum_{i=1}^n i q^i$

mir fehlt jeglicher ansatz, wie eine dazu passende differenzengleichung aussehen soll. habt ihr einen tipp für mich?

[Mups]

wie schauts denn aus mit

s_n = summe(i=1..n) q^i = s_(n-1) + q^i

??

[StarCraftFeuerteufel]

$s\_n = \sum\_{i=1}^n i q^i$

$s\_n = s\_{n-1} + n \cdot q^n$

s_n = \frac 1 {q -1}\left(nq^{n+1}-q\frac{q^n-1}{q-1}\right)$$ wenn ich mich nicht vertan habe. die idee ist folgende: $$$s_n=\begin{matrix} q&+q^2&+q^3&\ldots&+q^n \\&+q^2&+q^3&\ldots&+q^n \\&&+q^3&\ldots&+q^n \\&&&\ldots& \\&&&&+q^n \end{matrix}$

der rest ist geometrische reihe und einfach addieren.

[u_ser-l]

oder mal mit Differentialrechnung probieren:

\begin{gather*} \sum_{i=1}^n iq^i=\sum_{i=1}^n\frac{d}{dq}(q^{i+1})-q^i$\\ =\frac{d}{dq}\left(\sum_{i=2}^{n+1}q^i\right)-\sum_{i=1}^n q^i\\ =\frac{d}{dq}\left(\frac{q^{n+2}-1}{q-1}-q-1\right)-\sum_{i=1}^n q^i\\ =\text{... Ableitungsregel fuer Quotienten anwenden ...}\\ =\text{... und mit Bruchrechnung vereinfachen ...}\\ =\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} \end{gather*}

so in der Art.

[u_ser-l]

schade um die TeX-Formatierung ...

[advis0r]

u_ser-l schrieb:

schade um die TeX-Formatierung ...

üben! :p
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[u_ser-l]

u_ser-l schrieb:

oder mal mit Differentialrechnung probieren:

\begin{gather*} \sum_{i=1}^n iq^i=\sum_{i=1}^n\frac{d}{dq}(q^{i+1})-q^i\\ =\frac{d}{dq}\left(\sum_{i=2}^{n+1}q^i\right)-\sum_{i=1}^n q^i\\ =\frac{d}{dq}\left(\frac{q^{n+2}-1}{q-1}-q-1\right)-\sum_{i=1}^n q^i\\ =\text{... Ableitungsregel fuer Quotienten anwenden ...}\\ =\text{... und mit Bruchrechnung vereinfachen ...}\\ =\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} \end{gather*}

so in der Art.

@advis0r: danke für den Tip "voransicht":)