noch eine extremwertaufgabe
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Hallo diesmal soll ich die maxima von
3 x^2 - 2 x y + y^2
mit der bedingungx^2 + y^2 <= 1
kann ich das mit Hilfe des Lagrangeschen Multiplikators machen?
Und wenn ja wie?damit das Problem klar wird: es ist das <=
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Du kannst zunächst mal ganz nochmal Maxima in R^2 suchen und davon halt nur die zählen lassen, die im inneren des Einheitskreises liegen. Anschließend mußt Du noch Maxima auf dem Einheitskreis bestimmen, da ist es dann aber wieder eine echte Gleichheit und keine Ungleichung mehr.
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das habe ich auch getan, (0,0) im inneren und dann noch den einheitskreis als kurve betrachten
aber die ganze aufgabe steht unter der übschrift extremwerten mit lagrangschen multiplikator...
nur sehe ich keine echte möglichkeit ihn zu benutzen.
Es sei denn ich bestimme ... ahh mir geht ein licht auf ... statt den kreis als kurve zu betrachten könnte ich ihn auch als bedingung herausnehmen
da sieht man mal... denken hilft manchmal ^^
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wenn Du (x,y) in der Einheitskreisscheibe als x=r*cos phi und y=r*sin phi schreibst und in die Zielfunktion einsetzt, kannst Du r^2 ausklammern:
f(r, phi) = r^2 * (3 cos^2 phi - 2 sin phi cos phi + sin^2 phi)
da 0 <= r <= 1 frei wählbar ist, müssen Extrema in der Einheitskreisscheibe entweder bei r=0 oder bei r=1 liegen. Damit ist das Problem darauf reduziert, die Extrema der Zielfunktion auf dem Kreisrand x^2 + y^2 = 1 zu ermitteln. Hat ja auch schon Jester erwähnt.
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shisha schrieb:
damit das Problem klar wird: es ist das <=
Also, stumpfsinnig formal: http://wwwm.htwk-leipzig.de/~hstrauch/files/Kuhn-Tucker Theorem.pdf