lienare ausgleichsrechnung
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Hallo ich soll eine lineare ausgleichsrechnung durchführen:
der für uns standardmäßige ansatz wäre die Funktion der Fehlerquadrate zu bilden deren Gradienten zu bestimmen und dann aus gleichungssystem die koeffizienten zu bestimmen.
nun habe ich von einer interessanten methode gehört/gelesen:
normalengleichung- choleskyzerlegung...
und vandermonde-matrixkommt dieses verfahren exakt auf die selben lösungen?
oder anders gefragt : löst es das selbe problem?
(kleine fehlerquadrate?)
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Wenn du deinen Ansatz fährst, bekommst du so und so die Normalengleichungen, ein Gleichungsystem mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Cholesky für eine 2x2-Matrix bringt dann glaube ich eher nicht so viel. Oder vielleicht doch, aber es spielt keine Rolle :p
Interessant wird das, wenn es nicht um eine Ausgleichsgerade (nur 2 Parameter!), sondern um eine höherdimensionale Ausgleichs-"Ebene" geht.(Ich schreibe demnächst Klausur in Numerik, also ist mein Wissen zwar relativ frisch, aber nicht gerade praxiserprobt.)
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die frage ist ob die ergebnisse der numerik die selben ergebniosse wie ableiten der fehlerquadratfunktion liefert oder nur näherungen
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Vermutlich ist die gesuchte Antwort "ja".
Wenn Du ein lineares Problem lösen willst, dann suchst Du einen Satz von Parametern p, so daß die beobachteten Werte möglichst gut (also mit kleinstem quadratischem Fehler) dargestellt werden.
Summe( (f(p, x_i) - y_i)^2 ) -> min oder so ähnlich?
Das Problem kannst Du, wenn f in den Parametern p linear ist, als min |A*p - b|^2 hinschreiben und das kannst Du jetzt eben mit irgendeinem Verfahren lösen, meinetwegen per Ableitung, per Cholesky-Faktorisierung, Pseudoinvertierungen, Sigulärwertgewurschtel, ... -- je nach Humor des Autors. Da spielt dann eben wieder die Numerik rein, aber für die Idee ist es egal.
Trotzdem kannst Du dir natürlich auch ein anderes Fehlerkriterium ausdenken und, wenn es nicht zu abgefahren ist, das wieder als Problem der Linearen Algebra formulieren und dann wieder die dort üblichen Lösungsverfahren anwerfen.
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shisha schrieb:
die frage ist ob die ergebnisse der numerik die selben ergebniosse wie ableiten der fehlerquadratfunktion liefert oder nur näherungen
Ja, am Ende landest du beim selben Ergebnis. Die Durchführung zur Minimierung der Fehlerquadrate und aufstellen des Gleichungssystem führt dich zu der Vandermondsche Matrix.
Wenn du also weißt wie die Vandermondsche Matrix zu deinen gegebenen Punkten aussieht, kannst du dir die ganze Arbeit sparen und direkt die Matrix aufstellen.