normierter vektor/ maximale richtungsableitung[gelöst]

[golden_jubilee]

die aufgabe lautet:
den normierten richtungsvektor v € R^2 zu bestimmen, bezüglich dessen die richtungsableitung von f im urpsrung maximal ist

f: R^2 -> R (x,y) |->(1+x)*(1+y)

dafür soll ich ein ein zweidimensionales optimierungsproblem formulieren

wenn ich das richtig sehe, dann gibt es grundsätzlich nur die vektoren (1,0) und (0,1) die in frage kommen

ich habe nur keine idee, wie das ganze mit nebenbedingugn gelöst werden soll

[SeppJ]

Meinst du vielleicht, dass du das zweidimensionale Optimierungsproblem durch eine Nebenbedingung in ein Eindimensionales überführen sollst? Das Problem ist nämlich eigentlich eindimensional da die normierten Richtungsvektoren im R² alle auf einem Kreis liegen.

[golden_jubilee]

SeppJ schrieb:

Meinst du vielleicht, dass du das zweidimensionale Optimierungsproblem durch eine Nebenbedingung in ein Eindimensionales überführen sollst? Das Problem ist nämlich eigentlich eindimensional da die normierten Richtungsvektoren im R² alle auf einem Kreis liegen.

ja, das zweidimensionalen optimierungsproblem mit nebenbedingung, soll durch elimination einer variablen gelöst werden

[u_ser-l]

ist nicht die Richtungsableitung dann maximal, wenn man als Richtung den Gradienten (hier: (1+y,1+x) = (1,1)) nimmt ?

[u_ser-l]

normiert wäre das dann (1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

[SeppJ]

u_ser-l schrieb:

ist nicht die Richtungsableitung dann maximal, wenn man als Richtung den Gradienten (hier: (1+y,1+x) = (1,1)) nimmt ?

Richtig, jedoch anscheinend nicht der Aufgabenstellung entsprechend. Der Threadersteller sollte aber nochmal seine Vermutung, dass nur die Einheitsvektoren in Frage kommen überdenken

Ist das Problem nun eigentlich gelöst oder brauchst du, golden_jubilee, weitere Hilfe?

[golden_jubilee]

SeppJ schrieb:

u_ser-l schrieb:

ist nicht die Richtungsableitung dann maximal, wenn man als Richtung den Gradienten (hier: (1+y,1+x) = (1,1)) nimmt ?

Richtig, jedoch anscheinend nicht der Aufgabenstellung entsprechend. Der Threadersteller sollte aber nochmal seine Vermutung, dass nur die Einheitsvektoren in Frage kommen überdenken

Ist das Problem nun eigentlich gelöst oder brauchst du, golden_jubilee, weitere Hilfe?

das mit dem gradient macht durchaus sinn und das ergebnis zu normieren ebenfalls.
und da der gradient in die richtung des steilsten anstiegs zeigt, sollte die richtungsableitung entlang dieses vektors maximal sein.
also soweit habe ich das verstanden

nur leider ist mir immer noch nicht klar, wie man das ganze über ein zweidimensionales optimierungsproblem lösen kann

[u_ser-l]

Richtungsableitung in 0=(0,0) in Richtung r=(r_1, r_2) ist doch nach Definition:

lim_{h->0} 1/h * [ f(0+r*h)-f(0+r*0)] 
= lim_{h->0} 1/h * [ (1+r_1*h)(1+r_2*h) - 1]
= lim_{h->0} r_1 + r_2 + r_1*r_2*h
= r_1 + r_2

also lautet das Optimierungsproblem:

max r_1+r_2  
unter der Nebenbedingung: r_1^2 + r_^2 = 1

Da wg. der Nebenbedingung nur Punkte (r_1,r_2) auf dem
Einheitskreis in Frage kommen, kann man umformulieren:

(mit x := r_1, und sqrt(1-x^2) = r_2)

max g(x) 
mit g(x)=x + sqrt(1-x^2)

- Extremum von g suchen:

g'(x)=1 - 2*x/(2*sqrt(1-x^2))

die Ableitung verschwindet für 

x / sqrt(1-x^2) = 1

d.h. für x = sqrt(1-x^2)

d.h. für r_1 = r_2 

und da (r_1,r_2) Norm 1 haben soll, 
ist die gesuchte Richtung:

r = (1/sqrt(2),1/sqrt(2))

[golden_jubilee]

eine grobe skizze hätte natürlich gereicht, sonst denkt man nicht selber drüber nach

vielen dank

[u_ser-l]

gern geschehen.