implizite funktion

$ e^{2x-y} + 3x -2y -1 = 0 $

ist gegeben, ich soll nun zeigen, warum das sich explizit nach y(x) auflösen lässt
.

Reicht es zu sagen dass

$ f_y = - e^{2x-y} - 2 \neq 0 $

für alle x und y aus R gilt und dass f mindestens einmal stetig diffbar ist?

oder gibt es noch eine voraussetzung?

kleines problem noch, ich habe die ableitung der funktion y(x)

$ \dfrac{2 \cdot e^{2x-y} +3}{e^{2x-y} +2} $

und soll nun y´(0) berechnen
das heißt dass x = 0 gilt, oder?

wenn ich das jedoch in die ableitungsfunktion einsetze bleibt immer noch ein y stehen, muss ich das dann als y(x) also y(0) betrachten?

sonst wüsste ich doch nicht was ich da einsetzen soll?

Heinzelotto

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Formulierung_des_Satzes

leider ist mir der wikipedia artikel eine kleine nummer zu theoretisch,

dass nach dem auflösen nach y(x) dann F(x,y(x)) = 0 gilt erscheint mehr als nur logisch, sonst wäre die auflösung ja falsch

aber wenn ich nun y´(x) berechnet habe, was mache ich wenn ich dann etwas habe wie

y´(x) = e^(x-y)

ich dürfte doch nur noch eine variable haben?!

wenn ich nun y´( x=0) berechnen soll, stellt es für mich ein hindernis dar was ich mit dem verbliebenen y machen soll, ist dieses y dasjenige das F(x,y) = 0 erfüllt?
also einfach nur y(0)?

und dann enstprechend mit der zweiten ableitung...

ein erklärendes beispiel wäre nett, da die theorie da etwas viel ist

Dann nimm dir doch eines der Standardlehrbücher wie Analysis II von Heuser oder Forster, da wird nicht nur der Satz bewiesen, sondern auch angewandt.

C14

ja, das ist natürlich y(0).
Du berechnest ja einfach die Ableitung von F(x,y(x)) nach x an der Stelle 0 nach Kettenregel, da taucht dann y(0) auf.

shisha schrieb:

Reicht es zu sagen dass
$ f_y = - e^{2x-y} - 2 \neq 0 $
für alle x und y aus R gilt und dass f mindestens einmal stetig diffbar ist?

ja, das reicht: da e^r für reelle r immer > 0 ist, ist -e^(2x-y) - 2 immer < -2, also ungleich 0.

Der wikipedia-Artikel ist hier doch unmittelbar anwendbar, mit n=m=1. Dein f heißt dort F_1, y ist dort y_1, und die Jacobi-Matrix ist der Skalar f_y. Das dortige Beispiel mit der Kreisrand-Gleichung hat sogar dieselben Dimensionen n=m=1.

so nochmal nachfragen ob ichs auch verstanden habe:

die funktion f(x,y,z): x cos y + y cos z + z cos x − 2 = 0
ist gegeben, nun sollen

z nach x diff, und z nach y diff berechnet werden.

Wenn ich es richtig verstanden habe kann ich jetzt einfach

- f nach x geteilt durch f nach z = z nach x sagen oder nicht?