prinzipiell zu schwerpunkt frage

Also hat natürlich direkt mit dem anderen post zu tun ist aber vom problem unabhängig

Stimmt es dass ich den Schwerpunkt eines Körpers in Kugelkoordinaten folgendermaßen berechnen kann:

$ r\_s = \int\_B {r^3 \cdot \cos(\theta) \;dV}\\ \phi\_s = \int\_B {\phi \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \;dV }\\ \theta\_s = \int\_B {\theta \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \;dV }\\ $

oder wenn ich die koordinaten kartesisch haben möchte:

$ x\_s = \int\_B {r \cdot \cos(\phi)\cdot \cos(\theta) \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \;dV }\\ y\_s =\int\_B {r \cdot \sin(\phi)\cdot \cos(\theta) r^2 \cdot \cos(\theta) \;dV} \\ z\_s = \int\_B {r \cdot \sin(\theta) \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \;dV \\} $

SeppJ

Also allgemein ist der Schwerpunkt erstmal:

\begin{equation*} \vec{S}=\frac{1}{m}\int \vec{x}\vec{g}(\vec{x})\rho(\vec{x})dV \end{equation*}

Nimmt man konstante Dichte rho und homogene Schwerkraft g an, so vereinfacht sich dies zu:

\begin{equation*} \vec{S}=\frac{1}{m}\int_B \vec{x}dV \end{equation*}

(Also einfach das erste Moment der Verteilung)

In Kugelkoordinaten ist

\begin{equation*} dV=r^2\sin\theta drd\theta d\phi \end{equation*}

Das x wird in Kugelkoordinaten zu

\begin{equation*} \begin{matrix} x & = & r\sin\theta\cos\phi \\ y & = & r\sin\theta\sin\phi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix} \end{equation*}

Und somit die Schwerpunktkoordinaten:

\begin{equation*} \begin{matrix} S\_x & = & \frac{1}{m}\int\_B r^3 \sin^2\theta\cos\phi drd\theta d\phi \\ S\_y & = & \frac{1}{m}\int\_B r^3 \sin^2\theta\sin\phi drd\theta d\phi \\ S\_z & = & \frac{1}{m}\int\_B r^3 \sin\theta\cos\theta drd\theta d\phi \end{matrix} \end{equation*}

Außerdem kann man noch einsetzen, dass

\begin{equation*} m=\int\_B dV = \int\_B r^2\sin\theta drd\theta d\phi \end{equation*}

Alles gerade im Kopf gerechnet, daher ohne Gewähr.

ja x,y und z sind mir klar, du hast nur was anderes weil wir verschiedene kugelkoordinaten haben.

aber kann ich die koordinaten auch in kugelkoordinaten berechnen?

so wie ich es beschrieben habe?

Mr.Fister

S_r = Sqrt(S_x^2 + S_y^2 + S_z^2)
analog für die anderen beiden, steht in jeder brauchbaren Formelsammlung.

Ab der zweiten Formel in Sepps Beitrag muss man aber m durch V ersetzen.

kann man die schwerpunktkoordinaten nicht direkt in kugelkoordinaten berechnen?

r_s = ?
...

dass ich zuerst in kartesischen rechnen kann und die umwandeln kann ist klar aber es muss doch direkt gehen