Einige Fragen zu Potenzen in der Mengenlehre

Ishildur

Hallo zusammen
Ich beschäftige mich gegenwärtig im Zusammenhang mit der Stochastik wieder einmal ein wenig mit der Mengenlehre und habe hierzu einige Dinge, die ich noch nicht nachvollziehen kann:

1. Sei A ein Menge. Dann ist A^n = A_1 x A_2 x ... x A_n (Kartesiches Produkt). Soweit so gut. Nun habe ich allerdings folgendes gesehen:{A,...,Z}^{1,2,3,4,5} Kann mir jemand erklären, was dies bedeutet und dies in der Form wie ich es getan habe, ausschreiben?

Also die eigentliche Frage lautet wohl: Was bedeutet es, wenn der Exponent selbst wieder eine Menge und kein Skalar ist?

Mfg Samuel

Heinzelotto

Sei X eine Menge:

$ X^5 := X\times X\times X\times X\times X $$$, also ein 5-Tupel, wobei jedes der 5 Elemente des Tupels aus X ist. Eine Menge als Exponent bedeutet dann vermutlich, dass die Menge gemeint ist, die als Elemente die Mengen enthält, die zustandekommen, wenn man einmal "hoch 1" nimmt, dann "hoch 2", ..., "hoch 5". Aber mir ist das nicht als offizielle Schreibweise bekannt

Wenn man sowas benutzt, sollte man es eigentlich vorher schon definieren, besonders wenn es, wie in diesem Fall, eine scheinbar unbekannte Schreibweise ist.

Ishildur

Hallo Heinzelotto
Diese Idee hatte ich auch, doch hatte ich diese aufgrund der folgenden Aussage verworfen:
"Wieviele Wörter der Länge 5 können aus den 26 Buchstaben des Alphabets gebildet werden?"
Nach deiner Definition müsste doch da irgendwo das Wörtchen "höchstens der Länge 5" stehen?

Dann habe ich noch folgendes gesehen:
A^B = {f | f: B->A}
|A^B| = |A|^|B|

Wobei sowohl A als auch B eine Menge darstellt.
Hilft dir das weiter?

Ishildur schrieb:

Dann habe ich noch folgendes gesehen:
A^B = {f | f: B->A}
|A^B| = |A|^|B|

Wobei sowohl A als auch B eine Menge darstellt.
Hilft dir das weiter?

Na dann ist es ja klar: Man benutzt B um ein |B|-Tupel von Elementen aus A zu indizieren: z.b.
{a, b}^{+, -} = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} =: Y

Beispiel Sei y \in Y mit
y[+] = a und

= b

dann ist y das Tupel (a, b)

PeterTheMaster

wie du selbst schreibst, A^B ist die menge aller funktionen von B nach A.