beispiel für skalarfeldfunktion?

[mathematiker]

soweit so klar: ein skalarfeld ist ein feld, das jedem punkt im n-dimensionalen raum einen skalarwertigen funktionswert zuordnet. das zu verstehen ist ja kein problem.

doch wenn es dann zum gradienten geht, bei dem man eine solche funktion ja nach den verschiedenen komponenten ableitet, hört es schon auf. wie sieht denn eine solche funktion, die vektoren beinhaltet aber trotzdem nen skalar ausspuckt, aus?

etwa z.b. einfach so ?:

$f(x) = x+y+z$

sähe der gradient davon einfach so aus?:

\nablaf(x) = 1\*e\_x + 1\*e\_y + 1*e_z

Oder kann wer von euch ein besseres Beispiel geben?

[edit]

mathematiker schrieb:

soweit so klar: ein skalarfeld ist ein feld, das jedem punkt im n-dimensionalen raum einen skalarwertigen funktionswert zuordnet. das zu verstehen ist ja kein problem.

doch wenn es dann zum gradienten geht, bei dem man eine solche funktion ja nach den verschiedenen komponenten ableitet, hört es schon auf. wie sieht denn eine solche funktion, die vektoren beinhaltet aber trotzdem nen skalar ausspuckt, aus?

etwa z.b. einfach so ?:

$f(x) = x+y+z$

sähe der gradient davon einfach so aus?:

\nablaf(x) = 1\*e\_x + 1\*e\_y + 1*e_z

Oder kann wer von euch ein besseres Beispiel geben?

Sorry, hier nochmal verbessert:

soweit so klar: ein skalarfeld ist ein feld, das jedem punkt im n-dimensionalen raum einen skalarwertigen funktionswert zuordnet. das zu verstehen ist ja kein problem.

doch wenn es dann zum gradienten geht, bei dem man eine solche funktion ja nach den verschiedenen komponenten ableitet, hört es schon auf. wie sieht denn eine solche funktion, die vektoren beinhaltet aber trotzdem nen skalar ausspuckt, aus?

etwa z.b. einfach so ?:

$f(x) = x+y+z$

sähe der gradient davon einfach so aus?:

\nabla f(x) = 1\*e\_x + 1\*e\_y + 1*e_z

Oder kann wer von euch ein besseres Beispiel geben?

[pumuckl]

edit schrieb:

soweit so klar: ein skalarfeld ist ein feld, das jedem punkt im n-dimensionalen raum einen skalarwertigen funktionswert zuordnet. das zu verstehen ist ja kein problem.

Beliebtes Beispiel: Temperaturfeld im 3D, Luftdruck im 3D, usw.

doch wenn es dann zum gradienten geht, bei dem man eine solche funktion ja nach den verschiedenen komponenten ableitet, hört es schon auf. wie sieht denn eine solche funktion, die vektoren beinhaltet aber trotzdem nen skalar ausspuckt, aus?

Ein Gradientenfeld ist kein Skalarfeld sondern ein Vektorfeld. Wie dein Beispiel (das zwar sehr simpel, aber richtig ist) ja auch zeigt.

[u_ser-l]

edit schrieb:

wie sieht denn eine solche funktion, die vektoren beinhaltet aber trotzdem nen skalar ausspuckt, aus?

praktisch vorkommende Funktionen, die Vektoren auf Skalare abbilden sind
bspw. die Projektion auf die einzelnen Koord.:

$f(x,y,z)=x$ oder \\ $f(x,y,z)=y$ oder \\ $f(x,y,z)=z$

oder Punktprodukt mit einem konstanten Vektor:

$f\_a(x\_1,x\_2,x\_3)=a\_1\cdot x\_2 + a\_2\cdot x\_2 + a\_3\cdot x\_3$

oder der Laplace-Op., angewandt auf f:

$\mathrm{\Delta}\,f(x) = \sum\_i \frac{\partial^2 f}{\partial x\_i^2}(x)$

oder die partiellen Ableitungen:

$\frac{\partial f}{\partial x\_i}(x)=\lim\_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h\cdot e_i)-f(x)}{h}$

sowie Normen

$f(x)=\|x\|$

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