Komplexes Linienintegral
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Hi, ich habe etwas Mühe, das folgende Integral mittels Residuensatz zu lösen.
\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \frac{1 - \cos(z)}{z^2} dz \end{equation*}Da die zu integrierende Funktion gerade ist, ist das Integral doch das gleiche wie:
\begin{equation*} \frac{1}{2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos(z)}{z^2} dz \end{equation*}Die einzige Singularität ist im Punkt 0, und dort ist das Residuum wegen der Hebbarkeit 0. Also verschwindet das Integral ebenfalls? Oder wie muss ich das handhaben, wenn sich Singularitäten auf der reellen Achse (also auf dem Rand des umschlossenen Gebietes) befinden?
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maple sagt 1/2*pi.
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Eben, 0 kommt mir wie angetönt auch merkwürdig vor.
Weiss jemand, wo mein Fehler liegt bzw. wie man es richtig machen würde?
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das Ding hat keine Nullstelle bei oo, oder ?
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Den Residuensatz kann man ja nicht auf alle Funktionen blind anwenden. Du musst ja über eine geschlossene Kurve integrieren. Oft bildet man dann einen Halbkreis um den Ursprung mit Radius R, und das Integrals über den Bogen des Halbkreises geht unter Umständen für R->oo gegen 0. Dies ist aber bei Leibe nicht immer der Fall.
Du musst also dieses Integral berechnen: \begin{equation*}\int\limits_0^\pi \frac{1-\cos(R\exp(it))}{R^2\exp(2it)} iR\exp(it) \mathrm{d}t\end{equation*}
Dann den Grenzwert bilden und das negative ist dann nach dem Residuensatz der gesuchte Wert. Ob das hier so sinnvoll ist weiß ich aber nicht.
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Danke für die Hilfe! Das parametrisierte Wegintegral wird wohl kaum einfacher zu lösen sein. Eventuell könnte man den Cosinus durch den Realteil der Exponentialfunktion ausdrücken und damit etwas anfangen...
Wie ist das eigentlich im Allgemeinen, wenn eine Singularität auf dem Rand des umschlossenen Gebiets liegt? Ich nehme an, man muss dann einen anderen Weg wählen. Wie könnte das im Falle von uneigentlichen Integralen wie hier ungefähr aussehen?
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poste mal die Lösung - vor allem Begründung, wie man in diesem Fall den Residuensatz anwendet (verschwindet ja nicht bei oo).
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@Threadersteller Residu Uhm
Du hast nicht zufällig am Samstag Ana-Klausur bei Prof Hieber geschrieben??
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gib mal jemand die Lösung an !!