4. Thermodynamik-Aufgabe

Thermodynamik-Aufgabe

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    Tag zusammen 🙂

    Ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei dieser (vermutlich extrem simplen) Thermodynamikaufgabe zur Prüfungsvorbereitung.

    Es gelten:

    E=12PVT2=AE32Vn12E = \frac 1 2 P V \qquad T^2 = \frac{A E^{\frac 3 2}}{V n^{\frac 1 2}}

    wobei $$A > 0$$

    Gesucht ist nun die Fundamentalgleichung einmal über den normalen Weg (was auch immer das sein mag) und einmal über die Gibbs-Duhem-Relation.

    Ich komme da irgendwie nicht voran. Ich habe versucht, dE direkt auszurechnen (dE = 1/2 P dV), aber irgendwie ist das (wenn man die Formel oben direkt ableitet) viel zu simpel um die Lösung sein zu können, mal abgesehen davon, dass T nicht vorkommt.

    Wie geht man an so eine Aufgabe richtig heran? Gibt's ein allgemeines Verfahren?

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    .filmor schrieb:

    Gesucht ist nun die Fundamentalgleichung einmal über den normalen Weg (was auch immer das sein mag) und einmal über die Gibbs-Duhem-Relation.

    Ich komme da irgendwie nicht voran. Ich habe versucht, dE direkt auszurechnen (dE = 1/2 P dV), aber irgendwie ist das (wenn man die Formel oben direkt ableitet) viel zu simpel um die Lösung sein zu können, mal abgesehen davon, dass T nicht vorkommt.

    Erinnere dich erstmal, was die freien Variablen sind. Und wie die Gleichungen für die Konjugierten Variablen aussehen.

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    Das hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter. Die freien Variablen der inneren Energie sind S, V und N, die dazu konjugierten Variablen sind T, P und µ. Für T hab ich eine Gleichung, für P kann ich diese aus der ersten ausrechnen, für µ hab ich nichts.

    Damit ist $$\mathrm dE = \sqrt{T^2}\mathrm dS - 2EV\mathrm dV$$

    Unnu? Einfach integrieren? Dann wäre $$E = \frac{\sqrt{A}E^{\frac 3 4}}{\sqrt{V}n^{\frac 1 4}}S - EV^2$$.

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    .filmor schrieb:

    Das hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter. Die freien Variablen der inneren Energie sind S, V und N, die dazu konjugierten Variablen sind T, P und µ. Für T hab ich eine Gleichung, für P kann ich diese aus der ersten ausrechnen, für µ hab ich nichts.

    Damit ist $$\mathrm dE = \sqrt{T^2}\mathrm dS - 2EV\mathrm dV$$

    Unnu? Einfach integrieren? Dann wäre $$E = \frac{\sqrt{A}E^{\frac 3 4}}{\sqrt{V}n^{\frac 1 4}}S - EV^2$$.

    Du musst richtig integrieren. Auf der linken Seite steht bei dir dE, auf der rechten E -> Differentialgleichung.

    Du hast jedoch die Definitionen: T = dE/dS, P = -dE/dV und T, P als funktionen von E gegeben. Damit hast du zwei partielle Gleichungen für E(S, P), die du lösen kannst:

    (dE/dS)² = A E^1.5 V^-1 n^-.5
-(dE/dV) = 2E/V

    Ob du µ eindeutig bestimmen kannst...weiß ich nicht, aber ich glaube nicht

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    Okay, dann bekomme ich aus der ersten Gleichung

    dE/dV = -2E/V
<=> dE/E = -2 dV/V
<=> ln E = ln V^-2 + C(S, N)
<=> E = V^-2 * exp(C)

    Setze ich diese Lösung in die andere Formel ein komme ich zu

    E = sqrt(A)/(V² n^(1/4)) [e]int[/e]exp(3/4 C(S, N))dS

    Aber über C(S, N) weiß ich zu wenig um das Integral ausführen zu können.

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    .filmor schrieb:

    Setze ich diese Lösung in die andere Formel ein komme ich zu

    E = sqrt(A)/(V² n^(1/4)) [e]int[/e]exp(3/4 C(S, N))dS

    Aber über C(S, N) weiß ich zu wenig um das Integral ausführen zu können.

    Bist du sicher dass das richtig ist? Ich habe es nicht nachgerechnet, aber wenn du in die zweite PDE E() einsetst, sollte eine DGL für C(S, N) rauskommen (E eliminiert)

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    Tatsache, wenn ich statt nochmal die

    dE/dS = bla <=> dE = bla dS

    -Methode zu probieren tatsächlich mit dem Ergebnis darüber E ausrechne bekomme ich

    dC(S, N)/dS = sqrt(A/sqrt(n)) exp(-1/4 C(S, N))

    , sieht aber ziemlich fies aus ...

    Ich rechne das morgen nochmal in Ruhe durch, vielen Dank für die Hilfe 🙂

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    .filmor schrieb:

    Es gelten:

    E=12PVT2=AE32Vn12E = \frac 1 2 P V \qquad T^2 = \frac{A E^{\frac 3 2}}{V n^{\frac 1 2}}

    wobei $$A > 0$$

    Ist $$A$$ die Helmholtz-Funktion $$A = U - TS$$ (freie Energie)?
    Hier fehlt mir ein wenig zu sehr der Zusammenhang in der Aufgabenstellung.

    Ahh... Das erklärt den Disput zwischen Chemikern und Physikern bzgl. $$A$$ vs. $$F$$
    http://de.wikipedia.org/wiki/Freie_Energie

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    Ich weiß nicht, ob der Link dir das beantwortet hat, aber A ist einfach eine reelle Konstante größer 0.

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    .filmor schrieb:

    Ich weiß nicht, ob der Link dir das beantwortet hat, aber A ist einfach eine reelle Konstante größer 0.

    Danke. Wink mit dem Zaunpfahl an Deinen Prof.

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