Fouriertransformation der Zeitintegration (partielles integrieren)
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Hallo,
\begin{align*} \mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{\tau} x(\tau') \mathrm{d}\tau' \right] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\tau} x(\tau') \mathrm{d}\tau' \exp(-j \nu \tau) \mathrm{d}\tau = \\ &= \underbrace{\left[ \int_{-\infty}^{\tau} x(\tau') \mathrm{d}\tau' \frac{\exp(-j \nu \tau)}{-j\nu} \right]_{-\infty}^{\infty}}_{\text{Linker Teil}} + \frac{1}{j \nu} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \exp(-j \nu \tau) \mathrm{d} \tau}_{=X(j\nu)} = \\ &= \frac{1}{j\nu}X(j\nu) + \pi X(0)\delta(\nu) \end{align*}
ich versuche gerade die Korrespondenz für die Zeitintegration zu zeigen. Dazu integriere ich partiell, aber irgend wie scheine ich da einen Fehler zu machen, da ich einen Faktor 2 zu viel habe.Linker Teil:
\begin{align*} \left[ \int_{-\infty}^{\tau} x(\tau') \mathrm{d}\tau' \frac{\exp(-j \nu \tau)}{-j\nu} \right]_{-\infty}^{\infty} &= \left[ \int_{-\infty}^{\tau} x(\tau') \mathrm{d}\tau' \right]_{-\infty}^{\infty} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-j\nu\tau) \mathrm{d}\tau}_{=2\pi\delta(\nu)} = \\ &= \left( \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau') \mathrm{d}\tau'}_{=X(0)} - \underbrace{\int_{-\infty}^{-\infty} x(\tau') \mathrm{d}\tau'}_{=0} \right) 2\pi\delta(\nu) = \\ &= X(0) 2\pi\delta(\nu) \ne X(0) \pi\delta(\nu) \end{align*}Was mache ich falsch?
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rüdiger schrieb:
Linker Teil: ...
\begin{align*}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-j\nu\tau) \mathrm{d}\tau}_{=2\pi\delta(\nu)} = \\ \end{align*}Erklär mir mal für Doofe, wie Du auf diesen Ausdruck kommst.
Ist der aus dem reinen linken Teil abgeleitet?
Gib mal 2-3 Zwischenschritte an. Einfach nur für Dreijährige und P84 ...
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Vorzeichenfehler?
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Eine Zeitintegration ist eine Faltung mit einer Theta-Funktion. Faltungstheorem?
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Prof84 schrieb:
rüdiger schrieb:
Linker Teil: ...
\begin{align*}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-j\nu\tau) \mathrm{d}\tau}_{=2\pi\delta(\nu)} = \\ \end{align*}Erklär mir mal für Doofe, wie Du auf diesen Ausdruck kommst.
Ist der aus dem reinen linken Teil abgeleitet?
Gib mal 2-3 Zwischenschritte an. Einfach nur für Dreijährige und P84 ...Gut dass du fragst!! Fourier(delta) = 1, Fourier^-1(1) =? delta? Nicht ganz denn da fehlt noch 2pi also 1/2pi * Fourier ^-1(1) = delta und damit q.e.d.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#As_a_measure
http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout3/node2.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Distributions
http://academicearth.org/courses/the-fourier-transform-and-its-applications
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_field_theory#Field_operators
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Der Fehler ist imho bei
$\left[ f(\tau) \cdot g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \neq \left[ f(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \cdot \left[ g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty}$
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fehl0er schrieb:
Der Fehler ist imho bei
$\left[ f(\tau) \cdot g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \neq \left[ f(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \cdot \left[ g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty}$lol
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TheGoodTheBadTheSquidgy schrieb:
Prof84 schrieb:
rüdiger schrieb:
Linker Teil: ...
\begin{align*}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-j\nu\tau) \mathrm{d}\tau}_{=2\pi\delta(\nu)} = \\ \end{align*}Erklär mir mal für Doofe, wie Du auf diesen Ausdruck kommst.
Ist der aus dem reinen linken Teil abgeleitet?
Gib mal 2-3 Zwischenschritte an. Einfach nur für Dreijährige und P84 ...Gut dass du fragst!! Fourier(delta) = 1, Fourier^-1(1) =? delta? Nicht ganz denn da fehlt noch 2pi also 1/2pi * Fourier ^-1(1) = delta und damit q.e.d.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#As_a_measure
http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout3/node2.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Distributions
http://academicearth.org/courses/the-fourier-transform-and-its-applications
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_field_theory#Field_operators
Prof84 spricht mit sich selber.
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~~ schrieb:
fehl0er schrieb:
Der Fehler ist imho bei
$\left[ f(\tau) \cdot g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \neq \left[ f(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty} \cdot \left[ g(\tau) \right]_{-\infty}^{\infty}$lol
Sie meinen?