Was genau sind die Trigonometrischen Funktionen?
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Hallo Mathematik-Sub-Forum :-),
Ich beschäftige mich momentan mit den elementaren Grundlagen der Spieleprogramierung (Elementare Grundlagen heißt: Ich habe Grundlegende C++ Kentnisse und lese seit 3 Tagen das Buch "3D-Spieleprogrammierung mit Directx 9 und C++" von David Scherfgen).
Aktuell lese ich den mathematischen Teil, welcher sich mit der Berechnung von Vektoren und der Transformation von Vektoren mit Hilfe von Tranformationsmatrizen befasst. Bis jetzt habe ich das meiste Verstanden, von den Vektoren über die Rechenoperationen mit Vektoren bis zu den grundlegenden Transformationsmatrizen. Nur beim Rotationsmatrix bzw. Drehmatrix hakt es etwas, auch wenn es eher um das Grundverständniss der zu Grunde legenden Rechenoperation geht.
Zur Drehmatrix stand zu erst folgende Formel im Buch:
x' = (x*cos alpha) + (y*(-sin alpha))
y' = (x*sin alpha) + (y*(cos alpha))Nachdem ich die Formel durch Ableitung der Additionstheoreme für Berechnung des
Sinus einer Summe von Winkeln (oder hab ich da was falsch verstanden?) einigermaßen nachvollziehen konnte, habe ich mir überlegt wie ich das im Zusammenhang mit einem 2-Dimesionalem Koordinatensystem x,y und der Rotation eines Vektors (x,y) um den Ursprung mit dem Winkel alpha vorstellen kann.
Dazu habe ich mir einen Einheitskreis mit dem Radius des Vektors (x,y) und den Vektor (x,y) als Punkt P(x/y) auf dem Einheitskreis.
Mit dieser Vorstellung konnte ich mir die obenstehende Formel ungefähr erklären.Meine Frage ist jetzt:
Sind meine Überlegungen korrekt?
Wie genau kann man in dieser Anwendung die Trigonometrischen Funktionen interpretieren?, da es für mich alles ein wenig Abstrakt wirkt und ich den Unterschied zur Darstellung eines Winkels in Grad nicht erfasse.
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Arnom schrieb:
Meine Frage ist jetzt:
Sind meine Überlegungen korrekt?Dazu hast du deine Überlegungen nicht ausführlich genug dargelegt. Eine wie ich finde recht anschauliche Erklärung ist folgende:
Bei einer linearen Abbildung ist ja immer die Frage: Was passiert mit den Basisvektoren? Wenn du karthesische Koordinaten in einem 2D Raum nimmst, sind die Basisvektoren e1=(1,0) und e2=(0,1). Zeichne die mal auf ein Blatt Papier. Und jetzt drehst du diese Vektoren um einen gewissen Winkel gegen den Urzeigersinn um den Ursprung. Zeichne auch diese Vektoren. Und dann überlegst du dir mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken, wie die gedrehten Einheitsvektoren lauten. Du wirst sehen, es ergibt sich gerade die Drehmatrix.Wie genau kann man in dieser Anwendung die Trigonometrischen Funktionen interpretieren?, da es für mich alles ein wenig Abstrakt wirkt und ich den Unterschied zur Darstellung eines Winkels in Grad nicht erfasse.
Die trigonometrischen Funktionen übersetzen Winkel in Längenverhältnisse. Bei Drehungen denkt man anschaulicherweise in Winkeln. Lineare Abbildungen funktionieren anschaulich, indem sie Längen im Raum verzerren. Über die trigonometrischen Funktionen ergibt sich der Zusammenhang zwischen beiden.
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SeppJ schrieb:
Dazu hast du deine Überlegungen nicht ausführlich genug dargelegt. Eine wie ich finde recht anschauliche Erklärung ist folgende:
Bei einer linearen Abbildung ist ja immer die Frage: Was passiert mit den Basisvektoren? Wenn du karthesische Koordinaten in einem 2D Raum nimmst, sind die Basisvektoren e1=(1,0) und e2=(0,1). Zeichne die mal auf ein Blatt Papier. Und jetzt drehst du diese Vektoren um einen gewissen Winkel gegen den Urzeigersinn um den Ursprung. Zeichne auch diese Vektoren. Und dann überlegst du dir mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken, wie die gedrehten Einheitsvektoren lauten. Du wirst sehen, es ergibt sich gerade die Drehmatrix.Dankeschön, ich werde das Morgen ausprobieren und dann Rückmeldung geben :-).
Da ich ja noch zur Schule gehe (8.Klasse) muss ich jetzt mal langsam schlafen gehen, wir schreiben morgen Mathearbeit :D.Schönen Abend noch...
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da kann ich dir das hier empfehlen:
http://www.mordwinzew.de/index.php?id=5
Hat ein Download Link mit einer Excel Tabelle in der ebene und räumliche Drehungen nur mit Excel Zellen und ohne VBA Code gelöst sind (Einfach nachvollziehbar).
