Schiefer Wurf, Verständnisproblem

Hallo allerseits,

ich habe eine Aufgabe zum Thema "Schiefer Wurf", die mir doch so einige Probleme bereitet.

Die Aufgabenstellung hat mit Basketball zu tun. Der Ball wird aus einer Höhe von 2,20m auf den Korb geworfen, welcher in 12m Entfernung in einer Höhe von 3,05m hängt. Die Frage ist nun, mit welcher Startgeschwindigkeit der Ball geworfen wurde.

Mein Ansatz wäre die Wurfparabel, bei welcher ich jedoch nicht weiterkomme, da mir der Wurfwinkel fehlt.

Die allgemeine Gleichung lautet ja:
\begin{equation*}y = x\tan\alpha - \frac{g}{2}\frac{x^2}{V_0^2\cos^2\alpha}\end{equation*}

Nun habe ich noch den Hinweis bekommen, ich solle die Ableitung des Geschwindigkeitsquadrates (aus der Formel?) nach der Zeit differenzieren und gleich Null setzen:
\begin{equation*}\frac{dV_0^2}{dt} = 0\end{equation*}

Darüber soll ich irgendwie auf die folgende Gleichung kommen, mit welcher ich den Abwurfwinkel und somit natürlich die Startgeschwindigkeit ja ganz einfach berechnen könnte:
\begin{equation*}\tan2\alpha = -\frac{x}{y}\end{equation*}

Mein Problem ist jetzt ganz einfach: Ich habe keine Ahnung, wie oder weshalb das funktionieren soll, wie ich von der zweiten Gleichung auf die Dritte komme oder warum das funktionieren soll. Warum die Startgeschwindigkeit ableiten? Wie mache ich das? Wieso gleich 0 setzen? Ich blicke da gerade überhaupt nicht durch.

Es wäre wirklich toll, wenn mir vlt. irgendjemand einen Ansatz zu Verständnis geben könnte. Vielleicht sehe ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber ich beiße mir an der Sache schon seit Stunden die Zähne aus

Vielen Dank schonmal im voraus!

Bashar

Kommt mir auch nicht logisch vor. Die Anfangsgeschwindigkeit ist von der Zeit unabhängig, also ist die Ableitung sowieso 0. Unabhängig davon gibt es für viele Geschwindigkeiten einen Winkel, bei dem der Korb getroffen wird. Vielleicht sollst du ja die kleinste Geschwindigkeit finden, bei der der Korb getroffen wird. Das würde heißen, das Minimum von v0(alpha) zu finden, du müsstest dann nach alpha differenzieren.
Ergibt das Sinn?

Also, der Prof meinte, der Winkel sei eindeutig bestimmt als "optimaler Winkel". Beim schiefen Wurf an sich ist das ja der Winkel, mit dem man am weitesten wirft, also bei einem Ebenen Wurf 45°.
Da hier der Zielpunkt aber fest vorgegeben ist, schätze ich mal, macht der kürzeste Weg am meisten Sinn, oder? Das wäre ja in der Tat der Winkel bei der kleinstmöglichen Geschwindigkeit.

Wir könnte ich die Funktion denn im Groben nach v0(alpha) umparametrisieren?

Bashar

Also, der Prof meinte, der Winkel sei eindeutig bestimmt als "optimaler Winkel". Beim schiefen Wurf an sich ist das ja der Winkel, mit dem man am weitesten wirft, also bei einem Ebenen Wurf 45°.

Inwiefern ist der Winkel denn "optimal"? Es geht ja nicht ums Weitwerfen, sondern ums Treffen. Na gut, aber wenn ein Winkel von 45° vorgegeben ist, vereinfacht sich das Problem ja deutlich: Einfach einsetzen und nach v0 umstellen.

Koro schrieb:

Da hier der Zielpunkt aber fest vorgegeben ist, schätze ich mal, macht der kürzeste Weg am meisten Sinn, oder? Das wäre ja in der Tat der Winkel bei der kleinstmöglichen Geschwindigkeit.

Nein, den kürzesten Weg erhälst du bei V0 = ∞.

Du suchst vermutlich tatsächlich die minimale Geschwindigkeit. Dazu würdest du V0 nach alpha ableiten und nullsetzen.

Ableiten ist ganz einfach: Nach V0 umstellen und ableiten, wie in der Grundschule.

Bashar schrieb:

Also, der Prof meinte, der Winkel sei eindeutig bestimmt als "optimaler Winkel". Beim schiefen Wurf an sich ist das ja der Winkel, mit dem man am weitesten wirft, also bei einem Ebenen Wurf 45°.

Inwiefern ist der Winkel denn "optimal"? Es geht ja nicht ums Weitwerfen, sondern ums Treffen. Na gut, aber wenn ein Winkel von 45° vorgegeben ist, vereinfacht sich das Problem ja deutlich: Einfach einsetzen und nach v0 umstellen.

Nene, der Winkel ist nicht 45°, weil der Wurf nicht eben ist. Es wird ja in einer anderen Höhe abgeworfen (2,20m), als er auftrifft (3,05m). Deshalb wird der Winkel sehr nahe bei 45° liegen, aber nicht genau 45° sein. Diese Unterscheidung ist aber wichtig, weil auf sie in der Aufgabe 2 bezug genommen wird (die ich problemlos lösen kann, wenn ich Aufgabe 1 einmal habe).

sumu somo schrieb:

Nein, den kürzesten Weg erhälst du bei V0 = ∞.

Das verstehe ich nicht Wenn ich v0 -> ∞ laufen lasse, muss der Abwurfwinkel doch immer steiler werden, um den Zielpunkt zu treffen. Sonst würde ich ja mit zunehmender Geschwindigkeit immer weiter über den Korb hinaus werfen. Wenn aber Geschwindigkeit und Winkel gleichzeitig zunehmen, wird die Wurfstrecke doch immer länger?

Ich versuche es jetzt erst einmal mit \begin{equation*}\frac{dV_0(\alpha)}{d\alpha} = 0\end{equation*} und melde mich, sobald ich da etwas raus habe!

Koro schrieb:

sumu somo schrieb:

Nein, den kürzesten Weg erhälst du bei V0 = ∞.

Das verstehe ich nicht Wenn ich v0 -> ∞ laufen lasse, muss der Abwurfwinkel doch immer steiler werden, um den Zielpunkt zu treffen. Sonst würde ich ja mit zunehmender Geschwindigkeit immer weiter über den Korb hinaus werfen. Wenn aber Geschwindigkeit und Winkel gleichzeitig zunehmen, wird die Wurfstrecke doch immer länger?

Es gibt im allgemeinen ZWEI Winkel, bei denen du das Ziel triffst. Gedankenexperiment: Wenn du in der 'hood Basketball spielst und einen Ball ins Netz wirfst, hat er einen längeren Weg als die Kugel aus deiner Pistole, wenn du auf den Korb ballerst.

Achso, alles klar
Dann hast du natürlich recht

Beim Differenzieren nach Alpha komme ich auch nicht wirklich auf's Grüne. Ich lande bei einer höllisch komplizieren Formel mit einem Logarithmus und 4 oder 5 trigonometrischen Funktionen darin. Irgendwie ist das auch nicht ganz der Weg, den ich gehen will, da ich zunächst eigentlich wissen möchte, wie der zugehörige Winkel zu dieser kürzesten Strecke ist.

Sprich, wie ich auf:
\begin{equation*}\tan2\alpha = -\frac{x}{y}\end{equation*}
Komme. Mit der Formel kann ich nämlich auch die nachfolgenden Aufgaben ganz einfach berechnen, wohingegen mein Alpha-Ungetüm mir da nichts nützt.

Vlt. jemand eine Idee, wie ich da vorgehen kann?

Koro schrieb:

Beim Differenzieren nach Alpha komme ich auch nicht wirklich auf's Grüne. Ich lande bei einer höllisch komplizieren Formel mit einem Logarithmus und 4 oder 5 trigonometrischen Funktionen darin.

Ich denke das war falsch. Es müssen weniger Logarithmen und mehr Winkelfunktionen drin sein. Einfach ableiten ohne Fehler zu machen, das kann nicht so schwer sein, das können selbst Computer.

Also mein CAS bekommt es auch nicht hin

Koro schrieb:

Also mein CAS bekommt es auch nicht hin

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fda(+1+%2F+(+(cos(a))^2+*+(f+-+tan(a))))

Ja, aber damit kann ich leider auch nicht viel mehr anfangen

Bzw. das kann m.E. nicht die vom Prof gewollte Lösung sein, weil sie 1. zu kompliziert ist und 2. Dinge enthält, die wir noch nie hatten (z.B. die Sekanten-Funktion).

was soll denn rauskommen? ich würde es mit dem energieerhaltungssatz probieren.
E(A) = E (B)

m*g*h +1/2 * m * v^2 = m*g*h

dann kannst du m kürzen und nach v umstellen.

ich komme auf 6,6 m/s

Mr.Fister

Gib uns mal die exakte Aufgabenstellung, dh. copy&paste. So wie du es beschrieben hast, gibt es unendlich viele Loesungen und der Hinweis ist nutzlos. Und mit Verlaub, ich fuerchte es handelt sich eher um ein Verstaendnisproblem deinerseits als einen Fehler des Professors (ich spreche aus Erfahrung).

SeppJ

@Mr. Fister: Wenn anscheinend über Nacht ein langer Thread auftaucht, sollte man mal auf das Datum gucken. Der Fragesteller sollte mittlerweile zwei Semester weiter fortgeschritten sein.

Und somit die Lösung kennen und sie uns verraten